Vektor als Summe schreiben

Question

Sei R^3 mit dem Standard-inneren-Produkt gegeben und sei W der Teilraum, der von (4,-2,4) und (-2,6,2)
aufgespannt wird. Schreiben Sie den Vektor (20,10,-9) als w+w^{⊥} (orthogonal) mit w in W und w^{⊥} in W^{⊥}. Meine Idee war es die Vektoren zu orthogonalisieren mit dem Gram-Schmidt Verfahren und dann die Orthogonale Projezierung anzuwenden aber ich komme nicht auf die richtige Lösung.

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Meine Idee war es die Vektoren zu orthogonalisieren ...

das ist gar nicht notwendig. Du kannst das ganze als ein Ausgleichsproblem ansehen. Letztlich suchst Du ja eine Lösung für $$a\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 4\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}-2\\ 6\\ 2\end{pmatrix} = w \approx \begin{pmatrix}20\\ 10\\ -9\end{pmatrix}$$Wobei der Abstand zwischen \(w\) und dem vorgegeben Vektor minimal sein soll.

Seien \(A\) und \(z\) hier gegeben$$A= \begin{pmatrix}4& -2\\ -2& 6\\ 4& 2\end{pmatrix}, \quad z = \begin{pmatrix}20\\ 10\\ -9\end{pmatrix}$$ so löse das LGS$$A^TA \cdot \alpha = A^T z \quad \alpha = \begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix} \\ \implies \alpha = \begin{pmatrix}0.75\\ 0.25\end{pmatrix}, \quad w = \begin{pmatrix}2.5\\ 0\\ 3.5\end{pmatrix}$$

Alternative:

Berechne einen normalisierten Normalenvektor aus dem Kreuzprodukt der beiden Vektoren z.B. $$n = \frac{1}{\sqrt{90}}\begin{pmatrix}-7\\ -4\\ 5\end{pmatrix}$$und dann daraus die Projektionsmatrix \(P\) $$P = \underline{1} - n\, n^T = \frac{1}{90}\begin{pmatrix}41& -28& 35\\ -28& 74& 20\\ 35& 20& 65\end{pmatrix}$$ Und dann ist $$w = P \cdot \begin{pmatrix}20\\ 10\\ -9\end{pmatrix}$$Gruß Werner

Comments

Hier noch das BIld zur Aufgabe

klick auf das Bild, dann öffnen sich Geoknecht3D und Du kannst die Szene mit der Maus rotieren und bekommst so einen besseren räumlichen Eindruck.

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... ich habe noch eine alternative Lösungsmöglichkeit angehängt

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normalisierten Normalenvektor

Das nennt man normiert.

Answer 2

Ohne große Theorie über den Standardweg für Mathe-Aufgaben: Anforderungen in Gleichungen umsetzen und lösen.

Ansatz: \(w=\lambda_1 \begin{pmatrix}2\\ -1\\ 2\end{pmatrix}+\lambda_2 \begin{pmatrix}-1\\ 3\\ 1\end{pmatrix}\), also \(w^\bot =\begin{pmatrix}20\\ 10\\ -9\end{pmatrix}- w\).

Die Bedingungen \(w^\bot \bot \begin{pmatrix}2\\ -1\\ 2\end{pmatrix}\) und \(w^\bot \bot \begin{pmatrix}-1\\ 3\\ 1 \end{pmatrix}\) stellen zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten dar. Lösen, fertig.

Weder Gram-Schmidt noch Ausgleichsrechnung nötig.

Comments

Der zweite Vektor ist derselbe. Kleiner Copy&Paste-Fehler. Und geht auch, da in \(\mathbb{R}^3\), mit dem Kreuzprodukt. Also braucht man nichtmal ein LGS.

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Danke, korrigiert.

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@nudger: diese Lösung ist rechentechnisch identisch zu meiner ersten Variante.

... stellen zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten dar. Lösen, fertig.

Diese zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten sind nichts anderes als$$A^TA\alpha = A^Tz \quad \alpha=\begin{pmatrix}\lambda_1\\ \lambda_2\end{pmatrix}$$

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Ist mir klar. Aber eben ohne den theoretischen Überbau, der hier nicht nötig ist.