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Aufgabe:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x) = ln(x) und g mit g(x) = - ln(1/x)

a) Zeigen Sie, dass beide Funktionen identisch sind.

b) Bilden Sie die Ableitung der Funktion g.

c) Geben Sie mit möglichst wenig Rechenaufwand eine Ableitung der Funktion h mit h(x) = ln(1/(2x ^ 3 - 4)) an. Beschreiben Sie Ihr Vorgehen.


Problem/Ansatz:

Zu a habe ich geschrieben, dass man g(x) auch als -ln(1)-(-ln(x)) schreiben kann, was dann ln(x) ergibt

Bei b) und c) habe ich jedoch irgendwie Schwierigkeiten die Ableitung zu bilden

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b)

f'(x)=1/x

g'(x)=-1/(1/x) • (-1/x²) = + x/x² = 1/x

c)

h(x) = ln(1/(2x ^ 3 - 4) )

= - ln(2x ^ 3 - 4)

h'(x)= -6x^2 / (2x^3-4) =  -3x^2 / (x^3-2)

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Zur Ableitung von \(\pink{\ln x}\)

Die Funktion \(\ln(x)\) ist für \(x>0\) definiert. Zur Bestimmung ihrer Ableitung nutzen wir aus, dass eine Funktion und ihre Umkehrfunktion ihre Wirkung auf ein Argument \(x\) gegenseitig aufheben. Daher können wir mit Hilfe der Funktion \(e^x\) schreiben:$$e^{\pink{\ln x}}=x\quad\text{für alle }x>0$$Wir bilden von beiden Seiten die Ableitungen. Links nutzen wir dafür die Kettenregel:$$\underbrace{e^{\pink{\ln x}}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\left(\pink{\ln x}\right)'}_{\text{innere Abl.}}=1$$Wir ersetzen links \(e^{\pink{\ln x}}\) durch \(x\) und stellen nach der verbliebenen Ableitung um:$$\left(\pink{\ln x}\right)'=\frac1x\quad\text{für }x>0$$

zu a) Deine Begründung ist richtig\(\quad\checkmark\)

zu b) Das haben wir oben schon gemacht, denn es gilt ja:$$g'(x)\stackrel{\text{Teil (a)}}{=}f'(x)=\left(\ln x\right)'=\frac1x$$

zu c) Hier nutzen wir zuerst den Trick, den wir in Teil (a) gezeigt haben, dass man nämlich vom Argument der Logarithmusfunktion den Kehrwert nehmen kann, wenn man dafür ein Minuszeichen vor die Logarithmusfunktion setzt:$$h(x)=\ln\left(\frac{1}{2x^3-4}\right)=-\ln\left(\green{2x^3-4}\right)$$

Darauf wenden wir nun die Kettenregel an:$$h'(x)=-\underbrace{\frac{1}{\green{2x^3-4}}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\green{6x^2}}_{\text{innere Abl.}}=-\frac{6x^2}{2x^3-4}$$

Avatar von 152 k 🚀
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zu b) Die Ableitung von f(x)=ln(x) sollte man der Formelsammlung entnehmen, um sich den Aufwand der eigenen Herleitung zu ersparen. Die Ableitung von g(x) ist dann die gleiche.

zu c) muss man mit der Kettenregel arbeiten.

Avatar von 123 k 🚀
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g(x) = -ln (1/x) = ln(1/x)^-1 =ln(x)

Es gilt:

f(x) = lng(x) -> f '(x) = g'(x)/g(x)

Avatar von 39 k

Ist lng die Kleinschreibung von LNG?

Ich verstehe den Sinn deiner Frage nicht? Wo steht LNG? An die Gas-Terminals denke ich gewiss nicht. Gefällt dir ln g(x) besser?

Am besten gefällt mir ln(g(x)).

De gustibus ... :)

Oder so:

\(\ln g(x)\)

:-)

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