Wie bildet man die Stammfunktion von 2 e-Funktionen im Quotienten?

Question

f(x)= \( \frac{e^x}{e^x+1} \)

hat jemand vielleicht eine idee?

Answer 1

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Zwei Fragen:

1) Was wenn im Zähler nicht die Ableitung des Nenners steht?

2) Das heißt, die Stammfunktion lautet ln Betrag von e^x +1. Angenommen, hätte ich zusätzlich Intervallgrenzen. Wenn jetzt folgendes wäre beispielhaft: F(0) - F(3), soll ich dann so die Intervallgrenzen einsetzen: ln e^0 +1 - ln e^3+1 und wenn Negativwerte herauskommen, einfach Betrag setzen?

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zu 1) es kommt immer auf die konkrete Aufgabe an,

oft hilft Substitution

zu 2)

Du hast dann:

=ln| e^0+1| -ln|e^3+1|

=ln(2) - ln(e^3-1)

den Betrag mußt Du schon schreiben.

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Taucht ln nur in der allgemeinen Formel auf, weil es sich hierbei um e-Funktionen handelt oder auch grundsätzlich bei ganzrationalen Funktionen? Wenn ja, wie würde die Formel für Polynomfunktionen aussehen?

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Diese Regel ist speziell auf die Aufgabe bezogen

Answer 2

Im Zähler steht die Ableitung des Nenners.

F(x) = ln (e^x+1) +C

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Und was wenn im Zähler nicht die Ableitung des Nenners steht?

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Und was wenn im Zähler nicht die Ableitung des Nenners steht?

Das kannst du doch selber mal Probieren. Schreib in den Zähler einfach mal eine 1 rein.

https://www.integralrechner.de/

Answer 3

Jetzt kannst du doch endlich mal substituieren weil du die Ableitung des Nenners im Zähler siehst:

https://www.integralrechner.de

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Achsooooo ok... gilt diese Regel nur, wenn man so ein Bruch hat? Ich wüsste aber nicht, wie man substituiert, weil ich nicht weiß für was ln hier eine Verwendung findet bzw. die ganzen Rechenschritte..

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Eine Stammfunktion zu 1/x ist ln(x)

Das ist ein Standardintegral das man kennen sollte.

Ansonsten sag mal welchen Rechenschritt du nicht verstehst.

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Guter Tipp, ich werde mir eine Integraltabelle dann downloaden!

Fragen dazu:

1) es wurde durch u bzw. z substituiert, im Nenner also u aber warum steht plötzlich im Zähler 1 ? u oder z = e^x + 1

2) dx = \( \frac{dz}{e^x} \)    das wurde aber gar nicht mehr eingesetzt sondern es wurde einfach nur \( \frac{1}{u} \)  genommen und das aufgeleitet? Wo fand die Resubstituion statt, etc?