Wie bildet man die Stammfunktion mithilfe der Kettenregel?

Question

Aufgabe:

Wie bildet man die Stammfunktion mithilfe der Kettenregel?

Warum ist die Stammfunkion von f(x)= (3*x+1)^1/2   F(x)= 2/3*(3*x+1)^2/3 +c  

Problem/Ansatz:

Ich verstehe den Weg von der Funktion f zur Stammfunktion F nicht und bitte um ausführliche Schritt-für-Schritt-Erklärung da ich morgen u.a. dazu einen Test schreibe.

LG

Comments

Warum ist die Stammfunkion von f(x)= (3*x+1)^1/2 F(x)= 2/3*(3*x+1)^2/3 +c ?

das stimmt nicht. Die Stammfunktion von $$f(x) = (3x+1)^{\frac 12}$$ist$$F(x) = \frac 29 (3x+1)^{\frac 32} + c$$Der Exponent ist \(\frac 32\) und der Faktor ist \(\frac 29\)

Answer 1

Hier mit Rechenweg:

https://www.integralrechner.de/

Answer 2

Hallo

das ist nicht die Stammfunktion denn F'(x)= 4/9*(3x+1)^-1/3*3≠3*x+1)1/2

die Stammfunktion von x^1/2 ist 2*x^{-1/2 +c} wenn du die Stammfunktion von (3x+1)1/2 suchst nimmst du erstmal 2*(3x+1)-^1/2 und weil nach Kettenregel bei der Ableitung noch ein Faktor 3 kommt musst du noch mit 1/3 multiplizieren also hast du F(x)=1/3*2*(3x+1)^-1/2+c

oder du ersetzt 3x+1=z dann hast du im Integral aber noch dx durch 1/3dz zu ersetzen.

Gruß lul

Answer 3

Aloha :)

Das offizielle Gegenstück zur Kettenregel bei der Ableitung ist die Substitutionsregel bei der Integration.

Wegen \(\frac{d(3x)}{dx}=3\) ist \(dx=\frac{1}{3}d(3x)\), das heißt:

$$F(x)=\int\left(3x+1\right)^{1/2}\,dx=\int\left(3x+1\right)^{1/2}\,\frac{1}{3}d(3x)=\frac{1}{3}\int\left(3x+1\right)^{1/2}\,d(3x)$$$$\phantom{F(x)}=\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\left(3x+1\right)^{3/2}+\text{const}=\frac{2}{9}\left(3x+1\right)^{3/2}+\text{const}$$