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Aufgabe:

 Betrachten Sie die Funktion f : R\{0}R mit f(x)=1x3 .  Geben Sie alle Koeffizienten an,nN0, der Taylor-Reihe n=0an(x3)n der Funktion f an.  \begin{array}{l}{\text { Betrachten Sie die Funktion } f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R} \text { mit } f(x)=\frac{1}{x^{3}} \text { . }} \\ {\text { Geben Sie alle Koeffizienten } a_{n}, n \in \mathbb{N}_{0}, \text { der Taylor-Reihe } \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-3)^{n} \text { der Funktion } f \text { an. }}\end{array}


Problem/Ansatz:

Bin gerade dabei die Ableitungen zu berechnen, die anscheinend unendlich sind, wie geht man dort dann vor?

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Ansatz/Idee?

Werte nur bis zu einer bestimmten stelle und dann mit ... fn(-2)/n! (x-3)n zu antworten?

f(x) = x-3

f´(x) = -3x-4

f(x) = 12x-5

f(x) = -60x-6

f(x) = 360x-7

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Beste Antwort

Aloha :)

Die Taylorreihe einer Funktion um den Entwicklungspunkt x0x_0 ist allgemein:f(x)=n=0f(n)(x0)n!(xx0)nf(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^nDu sollst das in eine Reihe der Formf(x)=n=0an(x3)nf(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-3)^nentwickeln. Daraus kannst du sofort den Entwicklungspunkt x0=3x_0=3 ablesen. Wir brauchen also alle Ableitungen von f(x)=1x3=x3f(x)=\frac{1}{x^3}=x^{-3} an der Stelle x0=3x_0=3:

f(x)=x3f(3)=127=1272!230f(x)=3x4f(3)=334=1273!231f(x)=12x5f(3)=3435=1274!232f(x)=606f(3)=34536=1275!233\begin{array}{l}f(x)&=x^{-3}&\Rightarrow&f(3)&=\frac{1}{27}&=\frac{1}{27}\cdot\frac{2!}{2\cdot3^0}\\f'(x)&=-3x^{-4}&\Rightarrow&f'(3)&=-\frac{3}{3^4}&=-\frac{1}{27}\cdot\frac{3!}{2\cdot3^1}\\f''(x)&=12x^{-5}&\Rightarrow&f''(3)&=\frac{3\cdot4}{3^5}&=\frac{1}{27}\cdot\frac{4!}{2\cdot3^2}\\f'''(x)&=-60^{-6}&\Rightarrow&f'''(3)&=-\frac{3\cdot4\cdot5}{3^6}&=-\frac{1}{27}\cdot\frac{5!}{2\cdot3^3}\end{array}Daraus lässt sich das Bildungsgesetz für die f(n)(3)f^{(n)}(3) bereits ablesen:f(n)(3)=(1)n27(n+2)!23nf^{(n)}(3)=\frac{(-1)^n}{27}\cdot\frac{(n+2)!}{2\cdot3^n}an=f(n)(3)n!=(1)n27(n+2)!23nn!=(1)n(n+1)(n+2)543n\Rightarrow\quad a_n=\frac{f^{(n)}(3)}{n!}=\frac{(-1)^n}{27}\cdot\frac{(n+2)!}{2\cdot3^n\cdot n!}=\frac{(-1)^n(n+1)(n+2)}{54\cdot3^n}1x3=n=0(1)n(n+1)(n+2)543n(x3)n\Rightarrow\quad \frac{1}{x^3}=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(n+1)(n+2)}{54\cdot3^n}\cdot(x-3)^n

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