Koeffizienten einer Taylorreihe

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text {  Betrachten Sie die Funktion } f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R} \text { mit } f(x)=\frac{1}{x^{3}} \text { . }} \\ {\text { Geben Sie alle Koeffizienten } a_{n}, n \in \mathbb{N}_{0}, \text { der Taylor-Reihe } \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-3)^{n} \text { der Funktion } f \text { an. }}\end{array} $$

Problem/Ansatz:

Bin gerade dabei die Ableitungen zu berechnen, die anscheinend unendlich sind, wie geht man dort dann vor?

Comments

Ansatz/Idee?

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Werte nur bis zu einer bestimmten stelle und dann mit ... fⁿ(-2)/n! (x-3)ⁿ zu antworten?

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f(x) = x^-3

f´(x) = -3x^-4

f(x) = 12x^-5

f(x) = -60x^-6

f(x) = 360x^-7

Answer 1

Aloha :)

Die Taylorreihe einer Funktion um den Entwicklungspunkt \(x_0\) ist allgemein:$$f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$Du sollst das in eine Reihe der Form$$f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-3)^n$$entwickeln. Daraus kannst du sofort den Entwicklungspunkt \(x_0=3\) ablesen. Wir brauchen also alle Ableitungen von \(f(x)=\frac{1}{x^3}=x^{-3}\) an der Stelle \(x_0=3\):

$$\begin{array}{l}f(x)&=x^{-3}&\Rightarrow&f(3)&=\frac{1}{27}&=\frac{1}{27}\cdot\frac{2!}{2\cdot3^0}\\f'(x)&=-3x^{-4}&\Rightarrow&f'(3)&=-\frac{3}{3^4}&=-\frac{1}{27}\cdot\frac{3!}{2\cdot3^1}\\f''(x)&=12x^{-5}&\Rightarrow&f''(3)&=\frac{3\cdot4}{3^5}&=\frac{1}{27}\cdot\frac{4!}{2\cdot3^2}\\f'''(x)&=-60^{-6}&\Rightarrow&f'''(3)&=-\frac{3\cdot4\cdot5}{3^6}&=-\frac{1}{27}\cdot\frac{5!}{2\cdot3^3}\end{array}$$Daraus lässt sich das Bildungsgesetz für die \(f^{(n)}(3)\) bereits ablesen:$$f^{(n)}(3)=\frac{(-1)^n}{27}\cdot\frac{(n+2)!}{2\cdot3^n}$$$$\Rightarrow\quad a_n=\frac{f^{(n)}(3)}{n!}=\frac{(-1)^n}{27}\cdot\frac{(n+2)!}{2\cdot3^n\cdot n!}=\frac{(-1)^n(n+1)(n+2)}{54\cdot3^n}$$$$\Rightarrow\quad \frac{1}{x^3}=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(n+1)(n+2)}{54\cdot3^n}\cdot(x-3)^n$$