Aloha :)
Du kannst eine gegebene Funktion \(f(x)\) in der Näher eines Entwicklungspunkt \(x_0\) in eine Taylor-Reihe entwickeln. Diese lautet allgemein:$$f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\,(x-x_0)^k$$Du sollst die gegebene Funktion \(f(x)\) wie folgt schreiben: $$f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k(x+2)^k$$Wenn du beide Darstellungen vergleichst, stellst du fest, dass der Entwicklungspunkt \(x_0=-2\) ist und dass \(a_k= \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}=\frac{f^{(k)}(-2)}{k!}\) ist. Wir brauchen daher alle Ableitungen von \(f(x)\), die nicht verschwinden:
$$\begin{array}{l}f(x)=x^3-x^2+2x &\Rightarrow& f(-2)=-16&\Rightarrow&a_0=\frac{-16}{0!}=-16\\f'(x)=3x^2-2x+2 &\Rightarrow& f'(-2)=18&\Rightarrow&a_1=\frac{18}{1!}=18\\f''(x)=6x-2 &\Rightarrow& f''(-2)=-14&\Rightarrow&a_2=\frac{-14}{2!}=-7\\f'''(x)=6 &\Rightarrow& f'''(-2)=6&\Rightarrow&a_3=\frac{6}{3!}=1\end{array}$$Die gesuchte Taylor-Reihe lautet daher:$$f(x)=-16+18(x+2)-7(x+2)^2+(x+3)^3$$