Koeffizienten einer Taylor-Reihe von f(x)=x^{3}-x^{2}+2 x?

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text { }  \text {  Betrachten Sie } f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text { mit } f(x)=x^{3}-x^{2}+2 x, x \in \mathbb{R} \text { . }} \\ {\text { Geben Sie alle Koeffizienten } a_{k}, k \in \mathbb{N}_{0}, \text { der Taylor-Reihe } \sum_{k=0}^{\infty} a_{k}(x+2)^{k} \text { der Funktion } f \text { an. }}\end{array} $$

Problem/Ansatz:

Habe da gerade keinen Ansatz wie ich vorgehen muss.

Answer 1

Aloha :)

Du kannst eine gegebene Funktion \(f(x)\) in der Näher eines Entwicklungspunkt \(x_0\) in eine Taylor-Reihe entwickeln. Diese lautet allgemein:$$f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\,(x-x_0)^k$$Du sollst die gegebene Funktion \(f(x)\) wie folgt schreiben: $$f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k(x+2)^k$$Wenn du beide Darstellungen vergleichst, stellst du fest, dass der Entwicklungspunkt \(x_0=-2\) ist und dass \(a_k= \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}=\frac{f^{(k)}(-2)}{k!}\) ist. Wir brauchen daher alle Ableitungen von \(f(x)\), die nicht verschwinden:

$$\begin{array}{l}f(x)=x^3-x^2+2x &\Rightarrow& f(-2)=-16&\Rightarrow&a_0=\frac{-16}{0!}=-16\\f'(x)=3x^2-2x+2 &\Rightarrow& f'(-2)=18&\Rightarrow&a_1=\frac{18}{1!}=18\\f''(x)=6x-2 &\Rightarrow& f''(-2)=-14&\Rightarrow&a_2=\frac{-14}{2!}=-7\\f'''(x)=6 &\Rightarrow& f'''(-2)=6&\Rightarrow&a_3=\frac{6}{3!}=1\end{array}$$Die gesuchte Taylor-Reihe lautet daher:$$f(x)=-16+18(x+2)-7(x+2)^2+(x+3)^3$$

Answer 2

$$f(x)=x^3-x^2+2x=((x+2)-2)^3-((x+2)-2)^2+2((x+2)-2)$$

Ausmultiplizieren und nach Potenzen von (x+2) sortieren, dann Koeffizienten ablesen

Answer 3

Gehen wir mal davon aus das du die Taylorformel kennst

https://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel#Taylorpolynom

Funktionswert und Ableitungen an der Stelle -2 bilden und durch die entsprechende Fakultät teilen.

a0 = f(-2)/0! = -16

a1 = f'(-2)/1! = 18

a2 = f''(-2)/2! = -7

a3 = f'''(-2)/3! = 1