Taylorreihe / Potenzreihe a_k Koeffizienten

Question

Eine Aufgabe, bei der wir festhängen, lautet:

Geben Sie in der Taylorreihe

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_k(x-1)^k$$

für die reelle Funktion $$f(x)=(1-2x)^3$$
x∈ℝ

alle Koeffizienten a_k, k∈ℕ₀ an.

Leider hapert's schon beim Ansatz. Wir haben uns dazu die geometrische Reihe und ihre Ableitung angesehen, aber wir "bräuchten" dafür ja einen Bruch. In der Aufgabe nennen sie die Reihe "Taylorreihe", aber ist die Taylorreihe nicht eine ganz spezielle Reihe mit 1/k! als Vorfaktor?

Das hat uns auch ein wenig verwirrt. Hat jemand einen Tipp, wie wir da herangehen sollen?

Answer 1

f(x) = (1 - 2·x)^3
f'(x) = - 6·(1 - 2·x)^2
f''(x) = 24·(1 - 2·x)
f'''(x) = - 48

Offensichtlich soll die Taylorreihe an der Stelle x = 1 aufgestellt werden

f(1) = (1 - 2·1)^3 = - 1
f'(1) = - 6·(1 - 2·1)^2 = - 6
f''(1) = 24·(1 - 2·1) = - 24
f'''(1) = - 48

Die Koeffizienten lauten also 

a0 = - 1/0! = - 1
a1 = - 6/1! = - 6
a2 = - 24/2! = - 12
a3 = - 48/3! = - 8

Wie du siehst wird das k! einfach mit in den Koeffizienten mit hineingezogen.

Comments

Auf die Idee mit dem Ableiten hätten wir beim Stichwort Taylorreihe vielleicht selbst kommen sollen. Aber klar, so muss das gemacht werden.

Vielen

Answer 2

Ich hätte das jetzt so gemacht.

Substitution z:= x-1. Also x = z+1

Daher

(1−2(z+1))^3

=(1 - 2z -2))^3

= - (1 + 2z)^3 

= -1-6z-12z^2-8z^3

Also a₀ = -1, a1= -6. a2 = -12, a3 = -8, an = 0 für n> 3.

Bin einigermassen überzeugt von dieser Methode, da das Resultat mit dem von Mathecoach übereinstimmt.