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Zur Ableitung von \(\pink{\ln x}\)
Die Funktion \(\ln(x)\) ist für \(x>0\) definiert. Zur Bestimmung ihrer Ableitung nutzen wir aus, dass eine Funktion und ihre Umkehrfunktion ihre Wirkung auf ein Argument \(x\) gegenseitig aufheben. Daher können wir mit Hilfe der Funktion \(e^x\) schreiben:$$e^{\pink{\ln x}}=x\quad\text{für alle }x>0$$Wir bilden von beiden Seiten die Ableitungen. Links nutzen wir dafür die Kettenregel:$$\underbrace{e^{\pink{\ln x}}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\left(\pink{\ln x}\right)'}_{\text{innere Abl.}}=1$$Wir ersetzen links \(e^{\pink{\ln x}}\) durch \(x\) und stellen nach der verbliebenen Ableitung um:$$\left(\pink{\ln x}\right)'=\frac1x\quad\text{für }x>0$$
zu a) Deine Begründung ist richtig\(\quad\checkmark\)
zu b) Das haben wir oben schon gemacht, denn es gilt ja:$$g'(x)\stackrel{\text{Teil (a)}}{=}f'(x)=\left(\ln x\right)'=\frac1x$$
zu c) Hier nutzen wir zuerst den Trick, den wir in Teil (a) gezeigt haben, dass man nämlich vom Argument der Logarithmusfunktion den Kehrwert nehmen kann, wenn man dafür ein Minuszeichen vor die Logarithmusfunktion setzt:$$h(x)=\ln\left(\frac{1}{2x^3-4}\right)=-\ln\left(\green{2x^3-4}\right)$$
Darauf wenden wir nun die Kettenregel an:$$h'(x)=-\underbrace{\frac{1}{\green{2x^3-4}}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\green{6x^2}}_{\text{innere Abl.}}=-\frac{6x^2}{2x^3-4}$$
