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Aufgabe: Masse eines Kegelstumpfes mit Hilfe der Dichtefunktion berechnen

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Wir betrachten in den Fragen auf dieser Seite einen Kegelstumpf mit inhomoger Dichtevertellung in dimensionsbehafteten Groben (SI-Einheiten). Die Grundflache des Kegelstumpfs hat den Radius \( r_{1}=0,02 \mathrm{~m} \) und liegt in der \( x y \) -Ebene. Die obere Flache liegt in einer Hóhe \( h=0,02 \mathrm{~m} \) uber der Grundfläche und hat einen Radius \( r_{2}=0,01 \mathrm{~m} \)
Die Dichteverteilung in diesem Kegelstumpf ist durch die Funktion
$$ \rho(\vec{r})=1,9 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{cm}^{3}}+1,7 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{cm}^{4}} x+0,9 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{cm}^{5}} z^{2} $$
gegeben. Berechnen Sie nun zunachst die Masse M des Kegelstumpfs und wahlen Sie die richtige Antwort (geg. in Kilogramm (kg)) aus!
31,9
27,9
35,9
39,9
43,9
Pruffen

ich kenne mich hier leider nicht aus was ich machen muss, finde auch im Internet nichts. Ich hoffe mir kann jemand helfen!

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Aloha Hannuschuetze ;)

Willkommen in der Mathelounge...

Die Masse \(M\) des Kegelstumpfes bekommen wir, indem wir über die Dichte \(\rho(\vec r)\) integrieren. Da die Dichte auf Kubik-Zentimeter bezogen wird, rechnen wir in dieser Aufgabe alle Längen mit der Einheit Zentimeter.

Der maximale Radius \(r_\text{max}\) des Kegels hängt von der Höhe \(z\) ab, er wächst linear von \(r_\text{max}(2)=1\) auf \(r_\text{max}(0)=2\) an. Das ergibt den Zusammenhang:$$r_\text{max}(z)=2-\frac{1}{2}z\quad;\quad z\in[0|2]$$Damit können wir einen Vektor \(\vec r\) in Zylinderkoordinaten angeben, der den Kegel abtastet:$$\vec r=\left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{array}\right)\quad;\quad r\in\left[0\big|2-\frac{z}{2}\right]\quad;\quad z\in[0|2]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$Beim Übergang von kartesischen Koordinaten zu Zylinderkoordinaten wird das Volumenelement \(dV\) verzerrt, konkret gilt:$$dV=dx\,dy\,dz=r\,dr\,d\varphi\,dz$$Damit können wir das Integral für die Masse wie folgt formulieren:

$$M=\int\limits_0^{2}dz\int\limits_0^{2-z/2}\!\!\!\!r\,dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\left(1,9+1,7r\,\cos\varphi+0,9z^2\right)$$

Als erstes integrieren wir über \(d\varphi\), weil dann der Cosinus-Term wegällt:

$$M=\int\limits_0^{2}dz\!\!\!\int\limits_0^{2-z/2}\!\!\!\!\!r\,dr\left[1,9\varphi+1,7r\,\sin\varphi+0,9z^2\varphi\right]_0^{2\pi}$$$$\phantom{M}=\int\limits_0^{2}dz\!\!\!\int\limits_0^{2-z/2}\!\!\!\!\!r\,dr\left(1,9\cdot2\pi+0,9\cdot2\pi\,z^2\right)$$$$\phantom{M}=2\pi\int\limits_0^{2}dz\!\!\!\int\limits_0^{2-z/2}\!\!\!\!\!dr\,r\left(1,9+0,9\,z^2\right)$$

Als nächstes müssen wir über \(dr\) integrieren, weil die obere Grenze von \(dr\) die Variable \(z\) enthält:

$$M=2\pi\int\limits_0^{2}dz\left(1,9+0,9\,z^2\right)\left[\frac{r^2}{2}\right]_0^{2-z/2}=2\pi\int\limits_0^{2}dz\left(1,9+0,9\,z^2\right)\frac{\left(2-\frac{z}{2}\right)^2}{2}$$$$\phantom{M}=\pi\int\limits_0^{2}dz\left(1,9+0,9\,z^2\right)\left(4-2z+\frac{z^2}{4}\right)$$$$\phantom{M}=\pi\int\limits_0^{2}\left(0,225z^4-1,8z^3+4,075z^2-3,8z+7,6\right)\,dz$$$$\phantom{M}=\pi\left[\frac{0,225}{5}z^5-\frac{1,8}{4}z^4+\frac{4,075}{3}z^3-\frac{3,8}{2}z^2+7,6z\right]_0^2=\pi\cdot12,7067\approx\boxed{39,9}$$

Gerundet passt das Ergebnis \(39,9\,\mathrm{kg}\) am besten ;)

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Aber warum so kompliziert?

$$M=\int\limits_{0}^{2}π(2-1/2z)^2(1,9+0,9z^2)dz=953/75π $$

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Integration über kartesische Koordinaten ergibt dasselbe Ergebnis

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∫(∫(2·√((2 - 1/2·z)^2 - x^2)·(1.9 + 1.7·x + 0.9·z^2), x, - (2 - 1/2·z), 2 - 1/2·z), z, 0, 2) = 39.91917065 kg

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Aber warum so kompliziert?

$$M=\int\limits_{0}^{2}π(2-1/2z)^2(1,9+0,9z^2)dz=953/75π $$

Mit Rechnereinsatz ist das nicht kompliziert und hätte auch den Vorteil, das man es auch nutzen kann, wenn die Dichte sich in x-Richtung nicht schön durch die Symmetrie aufhebt und damit nicht vernachlässigt werden kann. Ich gebe aber zu, dass wenn man es ohne Rechner händisch machen möchte würde ich auch eine andere Variante wählen. Aber auch ich schrieb das heute morgen nur kurz zwischen dem kochen und den letzten Weihnachtsvorbereitungen. Also auch nicht wirklich mit viel Zeit und Lust zum Nachdenken. Und ohne nachdenken konnte ich das zunächst so runterschreiben.

So ähnlich ging es mir auch bei der Zwillingsaufgabe, nur eben andersrum.

Bei der Aufgabe schrieb ich es auch zwischen den Vorbereitungen hin, nur eben ohne es zu rechnen.

Das ist ja auch das, was ich die Schüler*innen immer frage.

" Wollt ihr lieber viel rechnen und wenig denken, oder wollt ihr etwas mehr denken, um dann weniger zu rechnen?"

Es stimmt aber, dass wenn zum Beispiel nach der Lage des Schwerpunktes gefragt worden wäre, die  Symmetrie  nur begrenzt hätte helfen können.

Nichts für Ungut,

Schöne Weihnachten wünsche ich dir noch und bleibe gesund.

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