Aloha Hannuschuetze ;)
Willkommen in der Mathelounge...
Die Masse \(M\) des Kegelstumpfes bekommen wir, indem wir über die Dichte \(\rho(\vec r)\) integrieren. Da die Dichte auf Kubik-Zentimeter bezogen wird, rechnen wir in dieser Aufgabe alle Längen mit der Einheit Zentimeter.
Der maximale Radius \(r_\text{max}\) des Kegels hängt von der Höhe \(z\) ab, er wächst linear von \(r_\text{max}(2)=1\) auf \(r_\text{max}(0)=2\) an. Das ergibt den Zusammenhang:$$r_\text{max}(z)=2-\frac{1}{2}z\quad;\quad z\in[0|2]$$Damit können wir einen Vektor \(\vec r\) in Zylinderkoordinaten angeben, der den Kegel abtastet:$$\vec r=\left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{array}\right)\quad;\quad r\in\left[0\big|2-\frac{z}{2}\right]\quad;\quad z\in[0|2]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$Beim Übergang von kartesischen Koordinaten zu Zylinderkoordinaten wird das Volumenelement \(dV\) verzerrt, konkret gilt:$$dV=dx\,dy\,dz=r\,dr\,d\varphi\,dz$$Damit können wir das Integral für die Masse wie folgt formulieren:
$$M=\int\limits_0^{2}dz\int\limits_0^{2-z/2}\!\!\!\!r\,dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\left(1,9+1,7r\,\cos\varphi+0,9z^2\right)$$
Als erstes integrieren wir über \(d\varphi\), weil dann der Cosinus-Term wegällt:
$$M=\int\limits_0^{2}dz\!\!\!\int\limits_0^{2-z/2}\!\!\!\!\!r\,dr\left[1,9\varphi+1,7r\,\sin\varphi+0,9z^2\varphi\right]_0^{2\pi}$$$$\phantom{M}=\int\limits_0^{2}dz\!\!\!\int\limits_0^{2-z/2}\!\!\!\!\!r\,dr\left(1,9\cdot2\pi+0,9\cdot2\pi\,z^2\right)$$$$\phantom{M}=2\pi\int\limits_0^{2}dz\!\!\!\int\limits_0^{2-z/2}\!\!\!\!\!dr\,r\left(1,9+0,9\,z^2\right)$$
Als nächstes müssen wir über \(dr\) integrieren, weil die obere Grenze von \(dr\) die Variable \(z\) enthält:
$$M=2\pi\int\limits_0^{2}dz\left(1,9+0,9\,z^2\right)\left[\frac{r^2}{2}\right]_0^{2-z/2}=2\pi\int\limits_0^{2}dz\left(1,9+0,9\,z^2\right)\frac{\left(2-\frac{z}{2}\right)^2}{2}$$$$\phantom{M}=\pi\int\limits_0^{2}dz\left(1,9+0,9\,z^2\right)\left(4-2z+\frac{z^2}{4}\right)$$$$\phantom{M}=\pi\int\limits_0^{2}\left(0,225z^4-1,8z^3+4,075z^2-3,8z+7,6\right)\,dz$$$$\phantom{M}=\pi\left[\frac{0,225}{5}z^5-\frac{1,8}{4}z^4+\frac{4,075}{3}z^3-\frac{3,8}{2}z^2+7,6z\right]_0^2=\pi\cdot12,7067\approx\boxed{39,9}$$
Gerundet passt das Ergebnis \(39,9\,\mathrm{kg}\) am besten ;)
