Nach Trennung der Variablen und Substitution von \( v = \sqrt{ \frac{c}{g } } \) kann die Dgl. wie folgt geschrieben werden
$$ (1) \quad \frac{1}{ \sqrt{g c} } \frac{ dv }{ 1 - v^2 } = dt $$
Integration beider Seiten ergibt für \( |u| < \sqrt{ \frac{g}{c} } \)
$$ (2) \quad \frac{1} { \sqrt{g c} } \tanh^{-1} \left( \sqrt{ \frac{c}{g} } u \right) = t + C_1 \text{ für } |u| < \sqrt{ \frac{g}{c} } $$
oder
$$ (3) \quad \frac{1} { \sqrt{g c} } \coth^{-1} \left( \sqrt{ \frac{c}{g} } u \right) = t + C_2 \text{ für } |u| > \sqrt{ \frac{g}{c} } $$
Falls \( u(0) = u_0 \) gilt, folgt für die Integrationskonstanten aus (2) und (3) direkt
$$ (4) \quad C_1 = \frac{1} { \sqrt{g c} } \tanh^{-1} \left( \sqrt{ \frac{c}{g} } u_0 \right) \text{ für } |u_0| < \sqrt{ \frac{g}{c} } $$ und
$$ (5) \quad C_2 = \frac{1} { \sqrt{g c} } \coth^{-1} \left( \sqrt{ \frac{c}{g} } u_0 \right) \text{ für } |u_0| > \sqrt{ \frac{g}{c} } $$
Das zusammengesetzt ergibt die Lösungen \( u(t) \) für die beiden Fälle
$$ (6) \quad u(t) = \sqrt{ \frac{ g }{ c } } \tanh \left[ \sqrt{ g c } t + \tanh^{-1} \left( \sqrt{ \frac{c}{g} } u_0 \right) \right] \text{ für } |u_0| < \sqrt{ \frac{g}{c} } $$
und
$$ (7) \quad u(t) = \sqrt{ \frac{ g }{ c } } \coth \left[ \sqrt{ g c } t + \coth^{-1} \left( \sqrt{ \frac{c}{g} } u_0 \right) \right] \text{ für } |u_0| > \sqrt{ \frac{g}{c} } $$
Da hier \( u_0 > \sqrt{ \frac{g}{c} } \) gilt, ist die Lösung der Dgl. die Gleichung für \( u(t) \) in (7)
Die Frage ist jetzt, kann ich \( u_0 \) so wählen, s.d. \( u(2) = 6 \) gilt?
(7) nach \( u_0 \) aufgelöst ergibt mit \( u_1 = 6 \) und \( t_1 = 2 \)
$$ u_0 = \sqrt{ \frac{g}{c} } \coth \left[ \coth^{-1} \left( \sqrt{ \frac{c}{g} } u_1 \right) - \sqrt{ g c } t_1 \right] = -6.239 $$
Da eine negative Geschwindigkeit nicht zulässig ist, ist es also nicht möglich, dass der Fallsschirm 2 Sekunden vorher geöffnet wurde.
Fragt man hingegen, ob der Schrim eine Sekunde vorher geöffnet werden konnte, ergibt sich ein \( u_0 \) von \( u_0 = 38.744 \text{ m/s} \). D.h. dieser Fall wäre durch aus möglich.
