Vektor-Matrix-Multiplikation bei Markov-Ketten

Question

ich verstehe gerade nicht, wie bei Markov-Ketten die Übergangsmatrix mal dem Vektor auf bestimmte Werte komme, da wenn ich sie so ausrechne, wie ich Vektor-Matrix-Multiplikation gelernt habe, auf andere Werte komme, als im Skript bzw. bei Lösungen von Aufgaben.

Ich habe die Werte auch in einem Online Matrixrechner eingegeben und da stimmen die Werte mit meinen ausgerechneten Werten überein, also anscheinend wird bei Markov-Ketten die Vektor-Matrix-Multiplikation anders berechnet?

Beispiel:

 \( \begin{pmatrix} \frac{8}{10} & \frac{2}{10} \\ \frac{1}{10} & \frac{9}{10} \end{pmatrix} \) \(\begin{pmatrix} \frac{2}{10} \\ \frac{8}{10}\end{pmatrix}\)

Wenn ich 'normal' rechne mit 8/10 mal 2/10 + 8/10 mal 2/10 für den ersten Wert des Vektors und 1/10 mal 2/10 + 8/10 mal 9/10 komm ich auf die Werte 8/25 = 0.32 bzw. 37/40 = 0.74, was die gleichen Werte vom Onlinerechner sind.
In meinem Uniskript kommen aber da die Werte (0,24 0,76) raus.

Da das bei allen Markov-Ketten Aufgaben der Fall ist, muss es an meiner Rechnung liegen und da der Onlinerechner das gleiche wie ich berechnet, die Frage wie die Vektor-Matrix-Multiplikation hier funktioniert?

Danke für die Hilfe im Voraus!

Answer 1

Ich vermute, dass die Matrix falsch ist,

muss die nicht an der Diagonalen gespiegelt

werden, also 1/10 oben rechts und

2/10 unten links.

Comments

Bei dieser Matrix geht es dann auf, aber bei dieser hier zum Beispiel schon wieder nicht, da kommt man dann trotz Vertauschung auf einen anderen Wert für den ersten Wert zB 307/1000 (wieder überprüft mit OnlineRechner)

Text erkannt:

$$ P=\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{3}{20} & \frac{1}{4} & \frac{3}{5} \end{array}\right) $$
Konkret ist beispielsweise diie Wahrscheinlichkeit daf \( \mathrm{r}, \) im kommenden Jahr Zuhause zu bleiben, wenn man im gegenw rtigen Jahr ins Ausland f hrt, gleich \( \frac{3}{20} \). Liegt nun ein Startvektor \( q \) = \( \left(\frac{45}{100}, \frac{32}{100}, \frac{23}{100}\right) \) vor, so ergibt sich als Prognose \( \mathrm{fr} \) das kommende Jahr die Verteilung
$$ q P=\left(\frac{31}{100}, \frac{36}{100}, \frac{33}{100}\right) $$

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Hab es jetzt mit anderen Matrizen verglichen und wenn man es vertauscht, passt es, bei dem Beispiel oben wurde wohl nur etwas seltsam gekürzt/gerundet

Answer 2

Vektor-Matrix-Multiplikation

Normal nimmt man eine Matrix-Vektor-Multiplikation. Und dann ist bei einer stochastischen Matrix die Spaltensumme 1.

[0.8, 0.1; 0.2, 0.9]·[0.2; 0.8] = [0.24; 0.76]

[0.8, 0.1; 0.2, 0.9]·[0.24; 0.76] = [0.268; 0.732]

[0.8, 0.1; 0.2, 0.9]·[0.268; 0.732] = [0.2876; 0.7124]

So bleibt auch die Spaltensumme im Vektor immer 1