Seien U, V1, V2 ≤ V Unterräume des K-Vektorraums V . Zeigen Sie...

Question

Aufgabe:

Seien U, V₁, V₂ ≤ V Unterräume des K-Vektorraums V . Zeigen Sie:
1. Ist V₂≤ U, dann gilt U ∩ (V₁ + V₂) = (U ∩ V₁) + V₂.
2. lin(V₁ ∪ V₂) = V₁ + V₂.
3. V₁ ∪ V₂ ≤ V ⇔ V₁ ∪ V₂ = lin(V₁ ∪ V₂).
4. Sei M ⊆ V . Dann ist lin(lin(M)) = lin(M).

Answer 1

Ist V2≤ U, dann gilt U ∩ (V1 + V2) = (U ∩ V1) + V2.

Sei also   V2≤ U, und x ∈  U ∩ (V1 + V2)

==>    x ∈  U   und  x ∈  V1+V2

==>    x ∈  U  
       und : Es gibt u ∈  V1 und w  ∈  V2 mit x=u+w

==>  (wegen V2≤ U )    x ∈  U   und   w ∈  U  
      (und weil U ein Unterraum ist)  x-w =  u ∈  U

==>   x ∈  V1    und u ∈  U also x ∈ U ∩ V1.

Wegen x = u+w und u ∈ U ∩ V1 und   w ∈  V2

==>    x    ∈    (U ∩ V1) + V2.

umgekehrt: Sei    x   ∈    (U ∩ V1) + V2.

==>    Es gibt u ∈  U ∩ V1  und w ∈  V2   mit x=u+w

==>  (wegen V2≤ U ) also auch w   ∈ U
       also u   ∈    U  und  w   ∈ U und weil U ein
      Unterraum ist auch  u+w=x   ∈ U  #

Andererseits sind u  ∈ V1 und w ∈ V2 also

                        x = u + w  ∈ V1 + V2  ##

# und ## ergeben   x   ∈ U ∩ (V1 + V2)  . q.e.d.

Comments

Was bedeuten die Hashtags/Rauten?

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Und noch eine Frage, ist das schon der vollständige Beweis von 1?

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Welchen Punkt vermisst du denn ?

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Ich vermisse keinen direkt. Ich verstehe es nur zu schlecht, um zu wissen ob es der vollständige Beweis ist...

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Die Frage sollte vielleicht eher sein, wenn ich da jetzt so aufschreibe, ml muss ich dann noch was verändern oder ergänzen?

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Ich finde es ist so OK.

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Okay danke! :)