lineare Unabhängigkeit Beweis 2 Richtungen?

Question

Vorweg: genau die gleiche Aufgabe habe ich online gefunden, aber ich verstehe den Lösungsansatz nicht, ich habe meinen Ansatz angefügt (Hier)

Aufgabe:

Seien a, b ∈ ℝ. Zeigen Sie, dass die Vektoren (1, a) und (1, b) im ℝ² genau dann linearunabhängig (l.u.) sind, wenn a ≠ b gilt.

Problem/Ansatz:

Ich dachte, der Wortlaut "genau dann wenn" ist ein Hinweis darauf, dass 2 Richtungen beweisen sollen ich habe mir etwas zur Hin und Rückrichtung aufgeschrieben. Wobei die Hinrichtung eher semigut geklappt hat.

"=>" (1,a) und (1,b) sind l.u., dann a=b

λ₁*(1,a)+λ₂*(1,b) = (0,0) 

-> Wenn l.u, dann λ₁=λ₂=0

0*(1,a)+0*(1,b) = (0,0)

<=> (0,0)=(0,0)

"<=" (1,a) und (1,b) und a=b, dann l.u.

λ₁*(1,a)+λ₂*(1,b) = (0,0)

λ₁*(1,a)+λ₂*(1,a) = (0,0)

(1, a)*(λ₁+λ₂)=(0,0) --> (λ₁+λ₂)muss 0 ergeben, deswegen kann man nur 0+0 rechen

(1, a)*(0+0)=(0,0)

λ₁=λ₂=0 -> L.u.

Kann man das so machen? oder ist das total falsch

Vielen Dank im Voraus

LG :)

Answer 1

(1,a) und (1,b) sind l.u., dann a=b

Das muss

        (1,a) und (1,b) sind l.u., dann a≠b

lauten.

(1,a) und (1,b) und a=b, dann l.u.

Ebenso.

        (1,a) und (1,b) und a≠b, dann l.u.

Comments

Ohmann ich bin so dumm, ich hab es einfach falsch auf meinen Zettel abgeschrieben! Ist doch wohl etwas zu spät zum Aufgabenlösen.

Vielen Dank fürs Verbessern. Ich setze mich morgen nochmal an die Aufgabe.

LG

Answer 2

Deine Gleichung kann man auch schreiben als $$  \begin{pmatrix} 1 & 1\\ a & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_ 1\\ \lambda_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} $$

Wenn \( a \ne b \) folgt \( \lambda_1 =\lambda_2 = 0 \), warum?

Andererseits folgt aus der Gleichung auch nur dann \( \lambda_1 =\lambda_2 = 0 \), wenn \( a \ne b \) gilt. Denn bei \( a = b \) ist \( \lambda_1 = 1 \) und \( \lambda_2 = -1 \) ein Lösung.

Comments

Erstmal vielen Dank, dass du dir so spät zeit genommen hast um mir zu antworten! Ich werde es mir morgen genauer anschauen, falls ich Fragen habe melde ich mich !

LG :)