Zeigen Sie, dass (1,1,1), (x,y,z), (x^2, y^2, z^2) für paarweise verschiedene reelle Zahlen x, y, z linear …

Question

Aufgabe:

Beweis für lineare Abhängigkeit für paarweise verschiedene reelle Zahlen

Problem/Ansatz:

Hallo, meine Aufgabe lautet:

Zeigen Sie, dass (1,1,1), (x,y,z), (x^2, y^2, z^2) für paarweise verschiedene reelle Zahlen x, y, z linear unabhängig ist.

Mein Plan war es zunächst zu zeigen das (1,1,1) und (x,y,z) linear unabhängig sind.

Als Koeffizientenmatrix dargestellt erhalten wir:

1	1	1	0
x	y	z	0

2.Zeile - 1 Zeile * x und man erhält:

1	1	1	0
0	y - x	z -x	0

y-x + z-x = 0 ⇒ y -2x = -z ⇒ z = -y + 2x, d.h x + y + z = 0 ⇔ x + y -y + 2x = 0 ⇔ x + 2x = 0 ⇒ x = 0 ⇒ y,z = 0.

Also sind (1,1,1) und (x,y,z) linear unabhängig.

Wir haben einen Satz in der Vorlesung der besagt das wenn ein Vektor nicht in der linearen Hülle von anderen linear unabhängigen Vektoren liegt, die gesamten Vektoren linear unabhängig voneinander sind. Ich muss also lediglich zeigen, dass (x^2, y^2, z^2) nicht in der linearen Hülle von (1,1,1), (x,y,z) liegt.

< (1,1,1), (x,y,z) > = { (r + sx, r + sz, r + sz) | r,s,∈ℝ }, wobei die spitzen klammern die hülle andeuten sollen.

Wäre (x^2, y^2, z^2) ein Element aus dieser Hülle, so könnte man ja x^2 darstellen durch r + sx (analog für y und z).

Doch dann würde folgen das r = x^2 - sx = y^2 - sy = z^2 -sz ⇒ x=y=z. Widerspruch zur Annahme das x != y != z ist.

Wäre das eurer Meinung nach als Beweis so ausreichend ?

Bin wie immer sehr dankbar für Antworten, Tipps und Anregungen.

Comments

Hallo,

ich denke, dass der Schluss \( \ldots \Rightarrow x=y=z\) begründet werden muss.

Gruß

Answer 1

Ich hätte die Gleichung $$ \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}  + \gamma \begin{pmatrix} x^2 \\ y^2 \\ z^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ in der Form

$$ A \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ geschrieben mit $$ A = \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{pmatrix} $$ geschrieben. Die Determinate von \( A \) ist $$ \det(A) = (x-y)(x-z)(z-y) $$ und daraus sieht man, das die Determinate nur für paarweise verschiedene Zahlen ungleich Null ist und damit die Vektoren linear unabhängig sind.

Comments

Hi, danke erstmal für die Antwort.

Das Problem ist nur, das wir noch keine Determinanten besprochen haben, weshalb ich damit nicht argumentieren darf.

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Dann mach es mit Gauß, dann siehst Du dass die Matrix invertierbar ist und darauf kommt es ja an!