Hallo,
ich habe eine komplexe Potenzreihe $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt n}\cdot (\frac{z}{4})^{3n}$$ gegeben und soll nun einmal den Konvegrenzradius bestimmen und danach die Reihe für z=R und z=iR auf Konvergenz untersuchen.
Jetzt hab ich erstmal $$\frac{z}{4}^3$$ substituiert und dann durch Resubstitution |z| < 4 für den Konvergenzradius erhalten.
Beim Verhalten am Rand des Konvergenzkreises bin ich mir jedoch nicht sicher, wie ich vorgehen soll.
Setze ich z=4 ein, erhalte ich $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt n}\cdot 1^{3n}$$, was divergieren sollte.
Für z=-4, bekomme ich $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt n}\cdot (-1)^{3n}$$ was nach Leibnitz konvergieren würde.
Jetzt habe ich aber eine Kreisscheibe und nicht einfach nur zwei Randpunkte. Kann ich da die bekannten Kriterien wie Leibnitz überhaupt benutzen? Und wie kann ich für alle Punkte auf der Kreisscheibe eine Aussage treffen, ob diese konvergieren oder nicht?
Könnte auch für |z| = $$cos(\varphi)+isin(\varphi)$$ einsetzen, aber dann weiß ich auch nicht wie ich weiter vorgehen sollte.
Habe im Internet viel mit Taylorreihen usw. gefunden, aber das haben wir leider noch nicht behandelt.
Kann mir hier jemand weiterhelfen? Vielen Dank schonmal!
