Äquivalenznormen - Beweis

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie folgenden Zusammenhang zwischen || · ||₁ und || · ||∞:

a) ∀ v ∈ R²  : ||v||∞ ≤ ||v||₁  ≤  2 ||v||∞

b) ∀ v ∈ Rⁿ : ||v||∞ ≤ ||v||₁ ≤  n ||v||∞

Man nennt den Zusammenhang auch Äquivalenz der Normen

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand schritt für schritt  (mit rechenweg) erklären, wie ich da vorgehen muss?

Answer 1

a) Sei $v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$. Dann ist

        $\begin{aligned} & \left\Vert v\right\Vert _{\infty}\\ =\, & \max\left(\left|v_{1}\right|,\left|v_{2}\right|\right)\\ \leq\, & \left|v_{1}\right|+\left|v_{2}\right|=\left\Vert v\right\Vert _{1}\\ \leq\, & \max\left(\left|v_{1}\right|,\left|v_{2}\right|\right)+\max\left(\left|v_{1}\right|,\left|v_{2}\right|\right)\\ =\, & 2\cdot\max\left(\left|v_{1}\right|,\left|v_{2}\right|\right)=2\cdot\left\Vert v\right\Vert _{\infty} \end{aligned}$.

b) Wie a)

Comments

Das versteh´ ich immer noch nicht. Wieso hast du das so gerechnet?

---

Das versteh´ ich immer noch nicht.

Welchen Umformungsschritt verstehst du nicht?

Wieso hast du das so gerechnet?

Weil das das beweist, was bewiesen werden sollte.

---

Ich habs doch verstanden :D Am anfang war ich bisschen verwirrt, aber jetzt versteh´ichs.

---

Aber wie mach ich das mit n? Denn n kann ja beliebig viele Werte annehmen

Kann ich dann n max ||v|| ? Genügt das oder wie würdest du diese Aufgabe rechnen?

---

Aber wie mach ich das mit n?

$\left\Vert v\right\Vert_\infty = \max(\left|v_1\right|,\dots,\left|v_n\right|)\leq \dots$