Aloha ;)
Beim Ableiten wird der Exponent um 1 vermindert und mit dem alten Exponenten multipliziert:$$x^n\to n\cdot x^{n-1}$$Beim Integrieren wird der Exponente um 1 erhöht und durch den neuen Exponenten dividiert:$$x^n\to\frac{x^{n+1}}{n+1}$$
Das kannst du nun auf die 4 Funktionen anwenden:$$f_1(x)=-\frac{1}{10}x^{-5}+x$$$$f_1'(x)=-\frac{1}{10}(-5)\,x^{-6}+1x^0=\frac{1}{2}x^{-6}+1$$$$\int f_1(x)\,dx=-\frac{1}{10}\cdot\frac{x^{-4}}{-4}+\frac{x^2}{2}+\text{const}=\frac{1}{40}x^{-4}+\frac{x^2}{2}+\text{const}$$
Die beiden Regeln von oben funktionieren auch, wenn der Exponent eine reelle Zahl ist:$$f_2(x)=8\sqrt{x}+9x-\frac{2}{\sqrt{x}}=8x^{\frac{1}{2}}+9x-2x^{-\frac{1}{2}}$$$$f_2'(x)=8\cdot\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+9\cdot1x^0-2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}}=\frac{4}{\sqrt x}+9+\frac{1}{x\sqrt x}$$$$\int f_2(x)\,dx=8\cdot\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+9\cdot\frac{x^2}{2}-2\cdot\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+\text{const}=\frac{16}{3}x\sqrt x+\frac{9}{2}x^2-4\sqrt x+\text{const}$$
Jetzt haben wir wieder ganzzahlige Exponenten:$$f_3(x)=4x^3+\sqrt2\,x^2+x+5$$$$f'_3(x)=4\cdot3x^2+\sqrt2\cdot2x^1+1\cdot x^0=12x^2+2\sqrt2\,x+1$$$$\int f_3(x)dx=4\cdot\frac{x^4}{4}+\sqrt2\cdot\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+5\,\frac{x^1}{1}+\text{const}=x^4+\frac{\sqrt2}{3}x^3+\frac{x^2}{2}+5x+\text{const}$$
Bei der letzten Aufgabe nicht durch das \(\pi^2\) verwirren lassen:$$f_4(x)=10x^4-\pi^2x^3$$$$f'_4(x)=10\cdot4x^3-\pi^2\cdot3x^2=40x^3-3\pi^2\,x^2$$$$\int f_4(x)dx=10\cdot\frac{x^5}{5}-\pi^2\cdot\frac{x^4}{4}+\text{const}=2x^5-\frac{\pi^2}{4}x^4+\text{const}$$
