Erste Ableitung und Stammfunktion von Funktionen bilden

Question

Hallo Leute! Ich brauche dringend eure Hilfe bei diesen Aufgaben. Hoffentlich könnt ihr mir helfen! Ich bedanke mich schonmal im voraus!

Die Aufgabe:

Bilde von den nachfolgenden Funktionen die erste Ableitung und die Stammfunktion. Hinweise: √2 oder π² sind Zahlenwerte und werden wie jeder andere Vorfaktor auch behandelt.

a) f1(x) = -1/10 * x^-5 + x

b) f2 (x) = 8 * √x + 9 * x - 2/√x

c) f3 (x) = 4 * x³ + √2 * x² + x + 5

d) f4(x) = 10 * x⁴ - π² * x³

Comments

Nur um das klarzustellen: Du kannst in allen Teilaufgaben nicht einmal die Ableitung?

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Wo ist dein Problem?

Kennst du die Regeln nicht? Geht nach Schema F!

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Nein, ich kenne die Regeln tatsächlich nicht. Wenn ich wüsste, wie ich die Aufgaben lösen soll, dann hätte ich sie hier auch nicht gestellt. :)

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Was ist in den letzten 5 Wochen (nicht) passiert?

Du hast hier am 22. November Fragen zu Ableitungen gestellt. Die fünf Wochen alten Regeln gelten immer noch.

Answer 1

Aloha ;)

Beim Ableiten wird der Exponent um 1 vermindert und mit dem alten Exponenten multipliziert:$$x^n\to n\cdot x^{n-1}$$Beim Integrieren wird der Exponente um 1 erhöht und durch den neuen Exponenten dividiert:$$x^n\to\frac{x^{n+1}}{n+1}$$

Das kannst du nun auf die 4 Funktionen anwenden:$$f_1(x)=-\frac{1}{10}x^{-5}+x$$$$f_1'(x)=-\frac{1}{10}(-5)\,x^{-6}+1x^0=\frac{1}{2}x^{-6}+1$$$$\int f_1(x)\,dx=-\frac{1}{10}\cdot\frac{x^{-4}}{-4}+\frac{x^2}{2}+\text{const}=\frac{1}{40}x^{-4}+\frac{x^2}{2}+\text{const}$$

Die beiden Regeln von oben funktionieren auch, wenn der Exponent eine reelle Zahl ist:$$f_2(x)=8\sqrt{x}+9x-\frac{2}{\sqrt{x}}=8x^{\frac{1}{2}}+9x-2x^{-\frac{1}{2}}$$$$f_2'(x)=8\cdot\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+9\cdot1x^0-2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}}=\frac{4}{\sqrt x}+9+\frac{1}{x\sqrt x}$$$$\int f_2(x)\,dx=8\cdot\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+9\cdot\frac{x^2}{2}-2\cdot\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+\text{const}=\frac{16}{3}x\sqrt x+\frac{9}{2}x^2-4\sqrt x+\text{const}$$

Jetzt haben wir wieder ganzzahlige Exponenten:$$f_3(x)=4x^3+\sqrt2\,x^2+x+5$$$$f'_3(x)=4\cdot3x^2+\sqrt2\cdot2x^1+1\cdot x^0=12x^2+2\sqrt2\,x+1$$$$\int f_3(x)dx=4\cdot\frac{x^4}{4}+\sqrt2\cdot\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+5\,\frac{x^1}{1}+\text{const}=x^4+\frac{\sqrt2}{3}x^3+\frac{x^2}{2}+5x+\text{const}$$

Bei der letzten Aufgabe nicht durch das $\pi^2$ verwirren lassen:$$f_4(x)=10x^4-\pi^2x^3$$$$f'_4(x)=10\cdot4x^3-\pi^2\cdot3x^2=40x^3-3\pi^2\,x^2$$$$\int f_4(x)dx=10\cdot\frac{x^5}{5}-\pi^2\cdot\frac{x^4}{4}+\text{const}=2x^5-\frac{\pi^2}{4}x^4+\text{const}$$

Answer 2

Ableiten: In jedem Summanden Exponent als Faktor vorziehen und um 1 vermindern: f1'(x)=1/2·x^-6+1

Integral: In jedem Summanden Exponent um 1 erhöhen und dadurch teilen:

$\int\limits_{}^{}$ f₁(x)dx=1/40·x^-4+1/2·x².