Zeigen Sie: F(x)=F(-x) für alle x \in \mathbb{R}(\mathrm{d} .

Question

Hallo, kann mir jemand bitte bei dieser Aufgabe helfen. So richtig komme ich nicht voran und weiß nicht weiter. Vielen Dank im Voraus!

Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Funktion mit der Eigenschaft \( f(-x)=-f(x) \) für alle \( x \in \mathbb{R}(\mathrm{d} . \mathrm{h} . f \) ist ungerade \( ) . \) Sei \( F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine Stammfunktion von \( f \). Zeigen Sie: \( F(x)=F(-x) \) für alle \( x \in \mathbb{R}(\mathrm{d} . \mathrm{h} . F \) ist gerade \( ) \).

Folgern Sie daraus
\(\int \limits_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0 \quad \text { für alle } a>0\)

Answer 1

F eine Stammfunktion für f bedeutet:

Für alle x∈ℝ gilt  F ' (x) = f(x) und wegen Kettenregel F ' (- x) = f(-x) * (-1)

==>   (F(x) - F(-x) ) ' =  (s. Kommentar) = f(x) - f(-x) * (-1) = f(x) +f( -x) = 0 (nach Vor.)

Also ist F(x) - F(-x) konstant, und für x=0 zeigt sich:

          konstant von Wert 0

==>  F(x) = F(-x) .  q.e.d.

Comments

Es muss heissen \( F'(x) - F'(-x) = f(x)+f(-x) \)

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Danke, manchmal kommt es auf so ein paar kleine Striche schon an.

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Super, vielen Dank!