Aufgabe . Es seien \( x, y \in \mathbb{R}^{2} \) und \( \tilde{d}: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch
\( \tilde{d}(x, y):=\left\{\begin{array}{cl} \|x-y\| & \text { wenn } x, y \text { und }(0,0) \text { auf derselben Geraden liegen } \\ \|x\|+\|y\| & \text { sonst, } \end{array}\right. \)
wobei für \( x=\left(x_{1}, x_{2}\right) \) gilt \( \|x\|=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} \). Dabei bezeichnet \( \|x\| \) die übliche euklidische Norm auf \( \mathbb{R}^{2} \), d. h. \( \|x-y\|=d(x, y) \) ist der übliche euklidische Abstand im \( \mathbb{R}^{2} \).
(i) Zeigen Sie, dass das so definierte \( \tilde{d} \) tatsächlich eine Metrik auf \( \mathbb{R}^{2} \) ist.
(ii) Berechnen Sie für die Folge \( x_{n}=\left(2^{-n}, 1\right) \) und den Punkt \( x=(0,1) \) die Grenzwerte \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \tilde{d}\left(x_{n}, x\right) \) und \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} d\left(x_{n}, x\right) \).
