Für zwei natürliche Zahlen \( x \) und \( y \) schreiben wir \( , x \equiv_{2} y^{*} \) für die Aussage \( , x-y \) ist durch 2 teilbar". Zum Beispiel gilt also \( 3 \equiv_{2} 7, \) denn -4 ist durch 2 teilbar, aber \( 4 \equiv_{2} 1 \) gilt nicht, denn 3 ist nicht durch 2 teilbar.
Zeigen Sie, dass die Teilmenge \( R \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) mit
(x, y) ∈ R ⇔ \( x \equiv_{2} y, \)
eine Äquivalenzrelation ist. Mit anderen Worten: Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
(a) Sei \( x \) eine natürliche Zahl. Dann gilt \( x \equiv_{2} x \).
(b) Seien \( x \) und \( y \) natürliche Zahlen. Dann gilt \( x \equiv_{2} y \) genau dann, wenn \( y \equiv_{2} x \) gilt.
(c) Seien \( x, y \) und \( z \) nat írliche Zahlen mit \( x \equiv_{2} y \) und \( y \equiv_{2} z . \) Dann gilt \( x \equiv_{2} z \).
