Berechnen Sie die Tschebyscheff-Koeffizienten

Question

Aufgabe:

Die ersten vier Tschebyscheff-Polynome sind T0(x)=1, T1(x)=x, T2(x)=2x^2-1 und T3(x)=4x^3-3x

Berechnen Sie die Tschebyscheff-Koeffizienten

ck=2/pi ( \int\limits_{0}^{pi} \) f (cos(φ))cos(kφ)dφ, k=0,1,2,3

für f(x)=x^3+x^2 und zeigen Sie dass $f(x)=c0/2+\( \sum\limits_{k=1}^{3}{ckTk(x)} \)$∏ gilt.

Problem/Ansatz:

Wir sollten diese Aufgabe machen, leider habe ich keine Ahnung wie man diese Aufgabe berechnet. Kann mir da bitte jemand helfen?\( \int\limits_{0}^{\infty} \)

Comments

Integrieren solltest du doch können? Wenn ich die Formel richtig entziffern kann ist

$$ c_k = \frac 2 \pi \int_0^\pi f(\cos \varphi) \cdot \cos (k\varphi) ~\textrm d \varphi $$

also z.B.

$$ c_0 = \frac 2 \pi \int_0^\pi f(\cos \varphi) \cdot 1 ~\textrm d \varphi = \frac 2 \pi \int_0^\pi (\cos \varphi)^3 + (\cos \varphi)^2 ~\textrm d \varphi = \dotsm = 1 $$

Und danach rechnest du einfach die Summe aus und schaust ob da \( f\) rauskommt.