Hallo,
Ich verstehe die Offensichtlichkeit der rekursiven Darstellung trotz vieler Recherche jedoch nicht
ich versuche das mal halbwegs formal zu zeigen, dass$$a_{n+1} = 2^n \quad n \in \mathbb N_0$$ist. Wobei \(a_n\) der Koeffizient vor dem Glied aus dem Tschebyscheff-Poynom \(T_n\) mit \(x^n\) ist.
Laut Definition ist$$\begin{aligned}T_{n+1}&=2xT_n-T_{n-1}\\T_0 &= 1\\ T_1 &= x \quad &&\implies a_1=1=2^0\\T_2 &= 2xT_1 - T_0 = 2x^2 - 1 &&\implies a_2 = 2 = 2^1\end{aligned}$$D.h. die Annahme ist erfüllt für \(n=0\) und \(n=1\).
Da mit jedem Rekursionsschritt das Vorgängerpolynom mit \(x\) multipliziert wird, d.h. der Grad des Polynoms um 1 erhöht wird, gilt auch$$\operatorname{grad}(T_n) = n$$Daraus folgt auch, dass$$\operatorname{grad}(T_{n+1}) \gt \operatorname{grad}(T_{n})$$ist und der Hauptkoeffizient des Nachfolger \(T_{n+1}\) ausschließlich vom Hauptkoeffizenten des Vorgängers \(T_n\) abhängt. D.h.:$$\implies a_{n+1} = 2a_{n} \quad \text{wg.}\space T_{n+1} = 2xT_{n} - T_{n-1}$$und wenn man nun den Schritt von \(n\) nach \(n+1\) macht:$$\begin{aligned}a_{n+1} &= 2a_{n} &&|\,\text{lt. Vorausetzung}\space a_{n}=2^{n-1}\\ &= 2 \cdot 2^{n-1} \\&= 2^n\\&\text{q.e.d.}\end{aligned}$$Gruß Werner
