Bildungsvorschrift Tschebyscheff Polynome

Question

Vielleicht kann mir jemand helfen.

Es geht um Tschebyscheff-Polynome und ihre Bildungsvorschrift. Wir sollen zeigen, dass für alle x<-1 gilt, dass T_k = (-1)^k cosh(k arccosh(-x)) gilt.

Problem/Ansatz:

Als Tipp ist gegeben, dass es ausreicht, zu zeigen, dass die Vorschrift der Drei-Term-Rekursion T_n+1 = 2x*T_n - T_n-1 genügt mit den Anfangswerten T_-1=0 und T_0=1. Ich habe versucht, das Ganze mit einer Substitution x=cosh(z) und Additionstheoreme zu lösen, bleibe dann aber an dem Minus hängen. Auch eine Fall Fallunterscheidung zwischen geradem und ungeradem k hat mich nicht wirklich weiter gebracht. Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben. 

Vielen Dank schonmal :)

Answer 1

Hallo,

für den Cosh(x) gilt folgende Summenformel:

$$cosh(x)+cos(y)=2\cdot cosh(\frac{x+y}{2})\cdot cosh(\frac{x-y}{2})$$

Diese wenden wir für :

$$T_{n+1}+T_{n-1}=\\(-1)^{n+1}cosh((n+1)arccosh(-x))+(-1)^{n-1}cosh((n-1)arccosh(-x))\\=(-1)^{n+1} \left[cosh((n+1)arccosh(-x))+cosh((n-1)arccosh(-x))\right]\\=(-1)^{n+1} \left[ 2\cdot cosh( \frac{(n+1)arccosh(-x)+(n-1)arccosh(-x))}{2}\cdot cosh( \frac{(n+1)arccosh(-x)-(n-1)arccosh(-x))}{2} \right]\\=(-1)^{n+1} \left[ 2\cdot cosh( \frac{2n\cdot arccosh(-x))}{2}\cdot cosh( \frac{2\cdot arccosh(-x))}{2} \right]\\=(-1)^{n+1} \left[ 2\cdot cosh( n\cdot arccosh(-x)\cdot cosh(  arccosh(-x)) \right]\\=(-1)^{n+1} \left[ 2\cdot cosh( n\cdot arccosh(-x)\cdot (-x)) \right]\\=(-1)^{n} \cdot 2x\cdot cosh( n\cdot arccosh(-x)\\=2x\cdot T_{n}$$

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Vielen Dank :)

Answer 2

Hilft das?

http://www.matha.rwth-aachen.de/de/lehre/ws10/psa/Bayer-Blundell.pdf

Satz 1.4  (d)

Comments

Oh super, ja das hilft auch :)