Formel für Lagrange-Polynome

Question

Aufgabe:

Gegeben seien paarweise verschiedene Stützstellen \( x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n} . \) Ein Polynom vom Grad \( n+1 \) wird definiert durch
$$ w(x)=\prod \limits_{j=0}^{n}\left(x-x_{j}\right) \text { . } $$
Zeigen Sie, dass die Lagrange-Basispolynome zu diesen Stützstellen auch die alternative Formel
$$ L_{i}(x)=\frac{w(x)}{\left(x-x_{i}\right) w^{\prime}\left(x_{i}\right)} \quad \text { für } i=0,1, \ldots, n $$
erfüllen.

könnte mir jemand bitte dabei helfen?

:)

Comments

Hat niemand Idee ?

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Gib doch mal die Definition der Basispolymome an.

was ist w'(x)? Produktregel mehrfach anwenden. Was passiert wenn du x_i einsetzt?

Answer 1

Hallo :-)

Im Grunde musst du nur die Produktregel beim Polynom \(w\) anwenden. Dann bekommst du diesen Ausdruck:

\(w'(x)=\sum\limits_{l=0}^n \left( \prod\limits_{\substack{j=0\\[3pt]j\neq l}}^n (x-x_j)\right )\).

Jetzt musst du nur noch alles in den Ausdruck \(\frac{w(x)}{\left(x-x_{i}\right) w^{\prime}\left(x_{i}\right)}\) einsetzen. Wenn du dabei unsicher sein solltest, schreibe die Summe bzw. Produkte aus.

Comments

Alles klar danke :)