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Aufgabe:

Es ist die Menge der Polynome vom Grad höchstens n mit R[x]n gegeben.

Es bildet (R[x]n, +, ·) ein Vektorraum (das dürfen Sie unbewiesen voraussetzen). Zeigen Sie, dass die Lagrange-Polynome LX,0(x), . . . , LX,n eine Basis von (R[x]n, +, ·) bilden.

Skalare Multiplikation gegeben durch: Sei p ∈ R[x]n mit p(x) = \( \sum\limits_{n=0}^{n}{} \) aixi  und λ ∈ R, dann ist λ·p ∈ R[x]n definiert als (λ · p)(x) = \( \sum\limits_{n=0}^{n}{} \) λaixi.


Problem/Ansatz:

Man sieht dass es eigentlich offensichtlich ist, dass die Menge dieser Polynome eine Basis des R[x]n bilden. Also müsste ich ja für alle Lagrange-Polynome argumentieren dass dies linear unabhängig sind. Allerdings ist mir nicht klar wie ich diese zeigen kann. Des Weiteren muss die Menge all dieser Polynome den gesamten Vektorraum aufspannen, also die Dimension von (R[x]n, +, ·) abdecken.

Würde mich über Hilfe freuen.

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Der Vektorraum hat Dimension n+1.

Du hast n+1 Polynome, also zeig entweder

dass sie linear unabhängig sind

oder

dass sie ein Erzeugendensystem bilden.

die Lagrange-Polynome LX,0(x), . . . , LX,n

Wie sind die bei dir definiert?

Sei das k-te Lagrange-Polynome definiert durch: LX,k(x) = \( \prod_{i=0}^{n} \) \( \frac{x-x_i}{x_k-x_i} \)   (mit i ≠ k)

Nimm einfach den 0815 Ansatz

$$ 0 = \lambda_0 L_{x,0} + \dotsm + \lambda_n L_{x,n} $$

Auf beiden Seiten stehen Polynom, die Gleicheit bleibt erhalten wenn du auf beiden Seiten den gleichen Wert einsetzt. Setze also die \( x_i \) ein und zeig dass \( \lambda_0 = \dotsm = \lambda_n =0 \).

LX,k(x)=\(\prod_{i=0}^n\frac{x-x_i}{x_k-x_i}\)

Wo kommen die \(x_i\) her?

xi wird aus dem Laufindex des Produkts bestimmt (von i=0 bis n).

Was ist dann zum Beispiel x3 ?

LX,k(x) = \( \frac{x-x0}{xk - x0} \) * \( \frac{x-x1}{xk - x1} \) * \( \frac{x-x2}{xk - x2} \) ...

x3 sowas wie ...* ( \frac{x-x3}{xk - x3} \) * ...

x3 wäre also der vierte Faktor wenn man bei 0 beginnt.

Die xi beziehen sich im Allgemeinen auf gegebene Stützstellen.

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