Zeigen Sie, dass die Lagrange-Polynome eine Basis bilden.

Question

Aufgabe:

Es ist die Menge der Polynome vom Grad höchstens n mit R[x]_n gegeben.

Es bildet (R[x]_n, +, ·) ein Vektorraum (das dürfen Sie unbewiesen voraussetzen). Zeigen Sie, dass die Lagrange-Polynome L_X,0(x), . . . , L_X,n eine Basis von (R[x]_n, +, ·) bilden.

Skalare Multiplikation gegeben durch: Sei p ∈ R[x]_n mit p(x) = \( \sum\limits_{n=0}^{n}{} \) a_ixⁱ  und λ ∈ R, dann ist λ·p ∈ R[x]n definiert als (λ · p)(x) = \( \sum\limits_{n=0}^{n}{} \) λa_ixⁱ.

Problem/Ansatz:

Man sieht dass es eigentlich offensichtlich ist, dass die Menge dieser Polynome eine Basis des R[x]_n bilden. Also müsste ich ja für alle Lagrange-Polynome argumentieren dass dies linear unabhängig sind. Allerdings ist mir nicht klar wie ich diese zeigen kann. Des Weiteren muss die Menge all dieser Polynome den gesamten Vektorraum aufspannen, also die Dimension von (R[x]_n, +, ·) abdecken.

Würde mich über Hilfe freuen.

Comments

Der Vektorraum hat Dimension n+1.

Du hast n+1 Polynome, also zeig entweder

dass sie linear unabhängig sind

oder

dass sie ein Erzeugendensystem bilden.

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die Lagrange-Polynome L_X,0(x), . . . , L_X,n

Wie sind die bei dir definiert?

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Sei das k-te Lagrange-Polynome definiert durch: L_X,k(x) = \( \prod_{i=0}^{n} \) \( \frac{x-x_i}{x_k-x_i} \)   (mit i ≠ k)

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Nimm einfach den 0815 Ansatz

$$ 0 = \lambda_0 L_{x,0} + \dotsm + \lambda_n L_{x,n} $$

Auf beiden Seiten stehen Polynom, die Gleicheit bleibt erhalten wenn du auf beiden Seiten den gleichen Wert einsetzt. Setze also die \( x_i \) ein und zeig dass \( \lambda_0 = \dotsm = \lambda_n =0 \).

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L_X,k(x)=\(\prod_{i=0}^n\frac{x-x_i}{x_k-x_i}\)

Wo kommen die \(x_i\) her?

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x_i wird aus dem Laufindex des Produkts bestimmt (von i=0 bis n).

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Was ist dann zum Beispiel x₃ ?

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L_X,k(x) = \( \frac{x-x₀}{x_k - x₀} \) * \( \frac{x-x₁}{x_k - x₁} \) * \( \frac{x-x₂}{x_k - x₂} \) ...

x₃ sowas wie ...* ( \frac{x-x₃}{x_k - x₃} \) * ...

x₃ wäre also der vierte Faktor wenn man bei 0 beginnt.

Die x_i beziehen sich im Allgemeinen auf gegebene Stützstellen.