Aufgabe:
ich habe diese Aufgabe aus Numerik, die so schwer für mich ist. Ich wäre dankbar wenn jemand mir dabei helfen würde.
:-)
Rekursion für Integrale.
Gegeben ist die Folge bestimmter Integrale
$$ I_{n}=\pi \int \limits_{0}^{1} \sin (\pi x) x^{2 n} \mathrm{~d} x \quad \text { mit } \quad n \in \mathbb{N}_{0} $$
a) Leiten Sie die Abschätzung \( 0 \leq I_{n} \leq 2 \) für alle \( n \) her.
b) Zeigen Sie durch partielle Integration, dass die Folge der Integrale die ZweiTerm-Rekursion
$$ I_{n}=1-\frac{2 n(2 n-1)}{\pi^{2}} I_{n-1} $$ \( (\star) . \)
für \( n \geq 1 \) erfüllt und der Anfangswert \( I_{0}=2 \) ist.
c) Der Anfangswert \( I_{0} \) ist eine ganze Zahl, während \( I_{1} \) eine irrationale Zahl ist und daher auf einem Rechner approximiert werden muss. Sei \( \tilde{I}_{1} \) eine Näherung für \( I_{1} \). Es ergeben sich (bei exakter Rechnung) die Näherungswerte \( \tilde{I}_{n} \) für \( n>1 \) aus der Zwei-Term-Rekursion \( (\star) . \) Leiten Sie eine Formel für \( \Delta I_{n}=\tilde{I}_{n}-I_{n} \) in Abhängigkeit von \( \Delta I_{1} \) her. Was ergibt sich für das Fehlerwachstum bei großem \( n ? \)
