Rekursion für Integrale

Question

Aufgabe:

ich habe diese Aufgabe aus Numerik, die so schwer für mich ist. Ich wäre dankbar wenn jemand mir dabei helfen würde.
:-)

Rekursion für Integrale.
Gegeben ist die Folge bestimmter Integrale
$$I_{n}=\pi \int \limits_{0}^{1} \sin (\pi x) x^{2 n} \mathrm{~d} x \quad \text { mit } \quad n \in \mathbb{N}_{0}$$
a) Leiten Sie die Abschätzung $0 \leq I_{n} \leq 2$ für alle $n$ her.

b) Zeigen Sie durch partielle Integration, dass die Folge der Integrale die ZweiTerm-Rekursion
$$I_{n}=1-\frac{2 n(2 n-1)}{\pi^{2}} I_{n-1}$$        $(\star) .$
für $n \geq 1$ erfüllt und der Anfangswert $I_{0}=2$ ist.

c) Der Anfangswert $I_{0}$ ist eine ganze Zahl, während $I_{1}$ eine irrationale Zahl ist und daher auf einem Rechner approximiert werden muss. Sei $\tilde{I}_{1}$ eine Näherung für $I_{1}$. Es ergeben sich (bei exakter Rechnung) die Näherungswerte $\tilde{I}_{n}$ für $n>1$ aus der Zwei-Term-Rekursion $(\star) .$ Leiten Sie eine Formel für $\Delta I_{n}=\tilde{I}_{n}-I_{n}$ in Abhängigkeit von $\Delta I_{1}$ her. Was ergibt sich für das Fehlerwachstum bei großem $n ?$

Answer 1

Hallo

integriere partiell mit x²ⁿ=u v'=sin(pix)  das entstehende Integral  mit cos nochmal

Gruß lul

Comments

Danke erstmal für deine Antwort.

Auf dieser Webseite https://www.integralrechner.de/# hat gezeigt dass die Lösung so ist

$-\frac{\pi^{-2 n-1} x^{2 n}\left(\Gamma(2 n+1,-\mathrm{i} \pi x)(\mathrm{i} x)^{2 n}+\Gamma(2 n+1, \mathrm{i} \pi x)(-\mathrm{i} x)^{2 n}\right)}{2(-\mathrm{i} x)^{2 n}(\mathrm{i} x)^{2 n}}+C$

aber ich glaube das ist falsch oder?

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Hallo

du sollst ja nicht das Integral lösen, sondern eine Rekursionsgleichung zeigen

also wie kommt man von dem Integral mir x²ⁿ zu dem ,it x^(2n-2)

das hatte ich dir gesagt. Lies die aufgaben genauer!

lul

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so ? wenn ja was soll ich dann machen ?

:)

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Hallo

ich hatte dir geraten, die partielle integration genau umgekehrt zu machen! also  u=x²ⁿ u'=2n*^x2n-1, v'=sin(pix) v=-1/picos(pix)

ausserdem solltest du die Grenzen  soweit fertig integriert  einsetzen.

dann nochmal partiell integrieren gibt die das Integral für n-2

das ersetzen durch die komplexen Funktionen hilft nicht, ausreden hast du da einfach das Integral weggelassen?

lul

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was soll ich dann machen? ich habe nicht so gut verstanden..

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Hallo

der erste Schritt ist jetzt richtig, aber was du mit dem entstehenden Integral machst ist falsch. du ersetzt cos durch die komplexen e Funktionen und lässt das Integral einfach weg? (vergiß diese komplexe Darstellung für diese Aufgabe)

dieses Integral musst du nochmal partiell integrieren, um wieder ein Integral mit sin zu erreichen.

in deinem ersten post ist wohl auch ein Fehler I_n=1-(2n*(2n-1)/pi²*I_n-2  verbessert habe ich statt I_n-1 I_n-2, sieh in deinen Unterlagen nach, ob ich recht habe

Gruß lul

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Was ist dann die Antwort von dem Integral wenn ich die komplexen e Funktionen weg mache?

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Hallo

zum dritten mal: du musst nochmal partiell integrieren, dann hast du I_n-2

wie liest du posts?

aus meinem letzen post:"dieses Integral musst du nochmal partiell integrieren, um wieder ein Integral mit sin zu erreichen

Gruß lul

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in deinem ersten post ist wohl auch ein Fehler In=1-(2n*(2n-1)/pi2*In-2  verbessert habe ich statt In-1 In-2, sieh in deinen Unterlagen nach, ob ich recht habe

Ich habe jetzt in meinen Unterlagen geguckt I_n-1 ist richtig

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Ich habe jetzt so gemacht (sieh das Bild).. was soll ich jetzt machen ? wie soll ich auf die Folge der Integrale kommen?

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Hallo

siehst du dass du als letztes bis auf einen Faktor I_n-1 hast? also schreib statt dem Integral Faktor mal I_n-2 und du hast die gesuchte Formel

deine Zettel sind mir zu mühsam zu lesen, ich hab also nicht jeden Schritt kontrollier, nur dass am Ende wirklich  2n*(2n-1)/pi²*I_n-1 steht, was richtig ist.

mit n-2 und n-1 hatte ich mich vertan bei I_n steht ja x²ⁿ  bei I_n-1 ist es dann x^2n-2

Gruß lul

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bei In steht ja x^(2n)  bei I_(n-1) ist es dann x^(2n-2)

wieso sollte es bei In-1 ist es dann x^(2n-2) und nicht x^(2n-1) ?

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Hallo

wenn du in 2n n durch n-1 ersetzt ist es 2*(n-2)

lul

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Ok alles klar danke :)

Könntest du mir bitte noch bei c) helfen?

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Hallo

erst mal deine Überlegungen, ich hab jetzt schon viel geantwortet.

lul

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So vielleicht ?