Rekursion, Analysis, Folgen

Question

Aufgabe:

Wir betrachten in dieser Aufgabe den folgenden Ausdruck

\( x=\sqrt{\mathcal{c}+\sqrt{\mathcal{c}+\sqrt{c+\cdots}}}, \quad \) wobei \( c>0 \)

(a) Konstruieren Sie eine rekursiv definierte Folge (xn), die das Verhalten des Terms beschreiben.
(b) Zeigen Sie, dass x element R gilt, dass also die Folge (xn) aus Teil (a) tatsächlich konvergiert und
bestimmen Sie den Grenzwert.
Problem/Ansatz:

Hey, ich scheitere gerade an dieser Aufgabe, an sich dachte, dass die Aufgabe ganz leicht wird, aber ich komme zu nichts, ich wäre für Hilfe sehr sehr dankbar.
mfg Sandra

Answer 1

$$ Folge:\\ a_{n} = \sqrt{c + a_{n-1}}, \quad a_{0} = 0, \quad a_{n} >= 0 \quad für \quad alle \quad n \\ Grenzwert: \\ a_{n} = \sqrt{a_{n}^2} = \sqrt{a_{n}^2 - a_{n-1} + a_{n-1}} \\ daraus \quad folgt:\\ \lim\limits_{n\to\infty}a_{n}^2 - a_{n-1} = c \\ \lim\limits_{n\to\infty}a_{n}^2 - a_{n-1} - c = 0 \\ sei \lim\limits_{n\to\infty}a_{n} = L, \quad dann \quad gilt:\\ L^2 - L -c = 0 \\ Lösung \quad L1 = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1+4c}) \\ Lösung \quad L2 = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1+4c})\\ wegen \quad L2 < 0 \quad ist \quad L1 \quad der \quad Grenzwert \quad der \quad Folge.$$

Comments

sei \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=L\), dann ...

Um den Grenzwert auf diese Weise berechnen zu können, muss zunächst dessen Existenz nachgewiesen werden. Leider gehst du darauf mit keinem Wort ein.

Answer 2

Es geht los mit $$a_1=\red{\sqrt{c}}$$.

Das zweite Folgenglied ist $$a_2=\sqrt{c+\red{\sqrt{c}}}$$.

Drücke das zweite Folgenglied anders aus, indem du statt \(\red{\sqrt{c}}\) einfach \(a_1\) hinschreibst.

So wie die jetzt \(a_2\) durch \(a_1\) ausgedrückt hast, kannst du \(a_{n+1}\) durch \(a_n\) ausdrücken.