Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b, c, d so, dass

Question

Aufgabe:

Hallo!

Ich soll die folgende Aufgabe lösen:

Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b, c, d so, dass

            x²                                falls -2 ≤ x < 0,

s(x) =   ax³ + bx² + cx + d     falls 0 ≤ x < 1,

            x² + x - 1                  falls 1 ≤ x ≤ 2

ein kubischer Spline ist oder beweisen Sie, dass dies nicht möglich ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe mir gedacht, dass ich die Stetigkeit überprüfen muss. Stetigkeit der Funktion, Ableitung und zweite Ableitung.

Dafür zeige ich, dass in den Stellen x₀ = 0 und x₁ = 1 die Funktion stetig ist.

Comments

Ich bin auf das Ergebnis gekommen, dass das nicht möglich ist.

d = 0; c = 0; b = 1 und bei a gibt es drei Gleichungen, die stimmen müssen, was aber nicht funktioniert.

Answer 1

Hallo,

Ich bin auf das Ergebnis gekommen, dass das nicht möglich ist.

das ist schon möglich! Die Bedingungen lauten doch $$s(0) = (x^2)_{x=0} = 0 \\ s'(0) = (x^2)'_{x=0} = 0 \\ s(1) = (x^2 + x-1)_{x=1} = 1 \\ s'(1) =  (x^2 + x-1)'_{x=1} = (2x+1)_{x=1}=3$$Und \(s_2\) (das mittlere Polynom) ist gegeben als$$s_2(x)=ax^3+bx^2+cx+d \\ \implies s_2'(x)=3ax^2+2bx+c$$Aus \(s_2(0)=0\) folgt unmittelbar \(d=0\) und aus \(s_2'(0)=0\) folgt \(c=0\). Dann bleibt noch$$s_2(1)= a+ b = 1 \\ s_2'(1)= 3a+b = 3$$Ziehe die obere von der unteren ab und dann steht dort \(2a=2\) also \(a=1\). Einsetzen in obere liefert \(b=0\). Also ist \(s_2(x)\) schlicht$$s_2(x)= x^3$$

https://www.desmos.com/calculator/905rnxf9i9

Die zweite Ableitung muss an den Endpunkten nicht überein stimmen. Dafür reicht der kubische Spline i.A. nicht aus. Falls dies gefordert wäre (ist es das?), ist es tatsächlich nicht möglich, da dann 6 Bedingungen vorlägen, aber der kubische Spline nur 4 Freiheitsgrade hat. Die Funktion hätte die Ordung 5 und wäre \(s(x)=\left(\left(\left(-3x+7\right)x-4\right)x+1\right)x^{2}\)

Gruß Werner

Comments

Noch eine Bemerkung zur 2.Ableitung:

Die zweite Ableitung von \(x^2\) bzw. \(x^2+x-1\) ist jeweils \(=2\). Da die zweite Ableitung eines kubischen Polynoms eine lineare Funktion ist, folgt daraus, dass der Koeffizient \(a=0\) sein müsste. Daher könnte man die beiden Kurven nur durch ein Polynom 2.Ordung verbinden.

Damit ist es aber nicht möglich die vier Bedingungen (siehe oben) einzuhalten. (Stetigkeit und Stetigkeit der 1. Ableitung an den Endpunkten)

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Wir sollten in einer anderen Übung auch die "Nahtstellen" überprüfen, also in diesem Fall eben x0 = 0 und x1 = 1.

Und dabei sollte untersucht werden, gegen welchen Wert die Funktion in diesen Stellen geht, sowohl von rechts als auch von links.

Wir müssten ja also für die Funktion s(x) überprüfen, ob die Funktion an der Stelle x = 0 von links und von rechts den gleichen Wert annimmt.

\( \lim\limits_{x\to\ 0 } \)_{von links} s(x) = \( \lim\limits_{x\to\ 0 } \)_{von rechts} s(x)

\( \lim\limits_{x\to\ 1 } \)_{von links} s(x) = \( \lim\limits_{x\to\ 1 } \)_{von rechts} s(x)

Und das wäre in diesem Fall

0 = a·0 + b·0 + c·0 + d ⇒ d = 0 und

a + b + c + d = 1

Das Gleiche dann mit s'(x) und s''(x)

\( \lim\limits_{x\to\ 0 } \)_{von links} s'(x) = \( \lim\limits_{x\to\ 0 } \)_{von rechts} s'(x)

\( \lim\limits_{x\to\ 1 } \)_{von links} s'(x) = \( \lim\limits_{x\to\ 1 } \)_{von rechts} s'(x)

2 · 0 = 0 =3a·0 + 2b·0 + c ⇒ c = 0

3a + 2b + c = 2·1 + 1 ⇒ 3a + 2b = 3

\( \lim\limits_{x\to\ 0 } \)_{von links} s''(x) = \( \lim\limits_{x\to\ 0 } \)_{von rechts} s''(x)

\( \lim\limits_{x\to\ 1 } \)_{von links} s''(x) = \( \lim\limits_{x\to\ 1 } \)_{von rechts} s''(x)

2 = 6a · 0 + 2b ⇒ b = 1

6a + 2b = 2

Dann hätten wir ja die Gleichungen

6a +2b = 2 ⇒ 6a = 0

3a + 2b = 3 ⇒ 3a = 1

a + b + c + d = 1 ⇒ a = 0

Sorry, wenn ich hier einen Denkfehler habe, aber so hatten wir das in der Übung gemacht.

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Ah, hab das ganz übersehen, dass geschrieben wurde, dass die 2te Ableitung nicht betrachtet werden soll. Wir hatten das bereits bei einem anderem Beispiel zu kubischen Splines mit der 2ten Ableitung gemacht.

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Sorry, wenn ich hier einen Denkfehler habe, ...

hast Du nicht! Die Frage ist letztlich, ob gefordert ist, dass die 2.Ableitungen an den Nahtstellen stetig sind, oder eben nicht.

Und das ist kein Teil der Lösung der Aufgabe, sondern ein Teil der Aufgabenstellung.

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Ah, hab das ganz übersehen, dass geschrieben wurde, dass die 2te Ableitung nicht betrachtet werden soll

Dann ist das ja geklärt. Damit ist meine Antwort oben die Lösung dieser Aufgabe.

Noch eine Bemerkung zu dem Limes von rechts und von links. Das Vorgehen, was Du beschrieben ist, ist so korrekt. Nur - bei der Lösung von Aufgabe dieser Art, ist i.A. nach Polyonmen gesucht und bei denen ist es immer egal von welcher Seite man den Limes betrachtet.

D.h. wenn \(x^2\) an der Stelle \(x=0\) die Steigung \(0\) hat, dann muss das Anschlußpolynom eben dort auch die Steigung \(0\) haben, wenn die Gleichheit der 1. Ableitung an dieser Stelle gefordert ist. Eine Betrachtung des links und rechtsseitigen Annähern an die Nahtstelle ist dann nicht mehr notwendig.

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Okay, alles klar. Dankeschön und einen schönen Tag noch (: