Es sei \mathbb{K} ein Körper und A \in \mathbb{K}^{p \times q} sowie B \in \mathbb{K}^{q \times r}

Question

Aufgabe:

Es sei \( \mathbb{K} \) ein Körper und \( A \in \mathbb{K}^{p \times q} \) sowie \( B \in \mathbb{K}^{q \times r} \). Zeigen Sie, dass \( \operatorname{Rg}(A B) \leq \operatorname{Rg}(A) \) und \( \operatorname{Rg}(A B) \leq \operatorname{Rg}(B) \) gilt.

Problem/Ansatz:

Wie beweise ich diese Aufgabe ?

Answer 1

Für eine Matrix \(M\) bedeute \(Kern(M)\) und \(Bild(M)\) Kern und Bild

der linearen Abbildung \(x\mapsto Mx\).

1. Es ist \(Bild(AB)\subseteq Bild(A)\) und daher

\(rg(AB)=\dim(Bild(AB))\leq \dim(Bild(A))=rg(A)\).

2. Man hat \(Kern(B)\subseteq Kern(AB)\), also

\(\dim(Kern(B))\leq \dim(Kern(AB))\). Mit dem Dimenssionssatz

für lineare Abbildungen ergibt sich daraus

\(rg(AB)=r-\dim(Kern(AB))\leq r-\dim(Kern(B))=rg(B)\).

Answer 2

Hallo

Wie wird der maximale Rang denn durch Zeilen bzw Spaltenzahl bestimmt? , wieviele Zeilen oder Spalten haben A,B, AB?