0 Daumen
562 Aufrufe

Aufgabe:

Sei \( \mathbb{K} \) ein Körper, \( t \in \mathbb{K} \) und \( A \in \mathbb{K}^{n \times n} \). Wir definieren

\( p_{A}(t)=\operatorname{det}\left(t I_{n}-A\right) . \)
i) Zeigen Sie \( p_{A}(t) \in \mathbb{K}_{\leq n}[t] \).


Problem/Ansatz:

Leider habe ich keinen Ansatzt

Avatar von

Wie habt Ihr denn "Determinante" definiert?

(Determinante). Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum mit Basis B = (b1,...,bn),
f : V →V eine lineare Abbildung und φ eine nicht-ausgeartete alternierende Multilinearform auf V n. Dann
heißt
det f := φ(f(b1),...,f(bn))
φ(b1,...,bn)
Determinante von f

hmmh,, ich hatte eher auf etwas Konkretes gehofft, wie die Leibniz-Formel

Ne leider haben wir sowas noch nicht in der Vorlesung

Hey ich vermute man kann auch Leibniz Formel nutzen

Damit ist die Aussage doch trivial. Wenn Du es nicht siehst, schreibe doch mal die Formel hierhin.

Sei \( A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbb{K}^{n \times n} \).
i) (Entwicklung nach der i-ten Zeile). Sei \( i \in\{1, \ldots, n\} \). Dann ist
\( \operatorname{det} A=\sum \limits_{j=1}^{n} a_{i j} \tilde{a}_{i j}=\sum \limits_{j=1}^{n}(-1)^{i+j} a_{i j} \operatorname{det} A_{i}^{j} . \)
ii) (Entwicklung nach der \( j \)-ten Spalte). Sei \( j \in\{1, \ldots, n\} \). Dann ist
\( \operatorname{det} A=\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i j} \tilde{a}_{i j}=\sum \limits_{i=1}^{n}(-1)^{i+j} a_{i j} \operatorname{det} A_{i}^{j} . \)

ups das ist ja was anderes haha sorry

\( \operatorname{det}(M)=\sum \limits_{\sigma \in \mathrm{S}_{n}}\left(\operatorname{sgn}(\sigma) \prod \limits_{i=0}^{n} m_{i, \sigma(i)}\right) \)

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Wenn man also die oben zitierte LFormel - das Produkt läuft allerdings ab i=1 - auf M=tI-A anwendet, dann ist jeder Summand ein Produkt aus n Elementen. Falls \(\sigma(i)=i\) ist wird ein Faktor \(t-a_{i,i}\) zum Produkt beigesteuert, sonst eine Konstane \(-a_{i,\sigma(i)}\). Also ist jeder Summand ein Polynom vom Höchstgrad n.

Übrigens wird der "volle" Grad nur erreicht, wenn \(\sigma=Id\), also die Identität ist.

Gruß Mathhilf

Avatar von 14 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community