Sei \mathbb{K} ein Körper, t \in \mathbb{K} und A \in \mathbb{K}^{n \times n} .

Question

Aufgabe:

Sei \( \mathbb{K} \) ein Körper, \( t \in \mathbb{K} \) und \( A \in \mathbb{K}^{n \times n} \). Wir definieren

\( p_{A}(t)=\operatorname{det}\left(t I_{n}-A\right) . \)
i) Zeigen Sie \( p_{A}(t) \in \mathbb{K}_{\leq n}[t] \).

Problem/Ansatz:

Leider habe ich keinen Ansatzt

Comments

Wie habt Ihr denn "Determinante" definiert?

---

(Determinante). Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum mit Basis B = (b1,...,bn),
f : V →V eine lineare Abbildung und φ eine nicht-ausgeartete alternierende Multilinearform auf V n. Dann
heißt
det f := φ(f(b1),...,f(bn))
φ(b1,...,bn)
Determinante von f

---

hmmh,, ich hatte eher auf etwas Konkretes gehofft, wie die Leibniz-Formel

---

Ne leider haben wir sowas noch nicht in der Vorlesung

---

Hey ich vermute man kann auch Leibniz Formel nutzen

---

Damit ist die Aussage doch trivial. Wenn Du es nicht siehst, schreibe doch mal die Formel hierhin.

---

Sei \( A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbb{K}^{n \times n} \).
i) (Entwicklung nach der i-ten Zeile). Sei \( i \in\{1, \ldots, n\} \). Dann ist
\( \operatorname{det} A=\sum \limits_{j=1}^{n} a_{i j} \tilde{a}_{i j}=\sum \limits_{j=1}^{n}(-1)^{i+j} a_{i j} \operatorname{det} A_{i}^{j} . \)
ii) (Entwicklung nach der \( j \)-ten Spalte). Sei \( j \in\{1, \ldots, n\} \). Dann ist
\( \operatorname{det} A=\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i j} \tilde{a}_{i j}=\sum \limits_{i=1}^{n}(-1)^{i+j} a_{i j} \operatorname{det} A_{i}^{j} . \)

---

ups das ist ja was anderes haha sorry

---

\( \operatorname{det}(M)=\sum \limits_{\sigma \in \mathrm{S}_{n}}\left(\operatorname{sgn}(\sigma) \prod \limits_{i=0}^{n} m_{i, \sigma(i)}\right) \)

Answer 1

Wenn man also die oben zitierte LFormel - das Produkt läuft allerdings ab i=1 - auf M=tI-A anwendet, dann ist jeder Summand ein Produkt aus n Elementen. Falls \(\sigma(i)=i\) ist wird ein Faktor \(t-a_{i,i}\) zum Produkt beigesteuert, sonst eine Konstane \(-a_{i,\sigma(i)}\). Also ist jeder Summand ein Polynom vom Höchstgrad n.

Übrigens wird der "volle" Grad nur erreicht, wenn \(\sigma=Id\), also die Identität ist.

Gruß Mathhilf