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Sei f(x)=n=0(1)n(n+1)(x1)n f(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)(x-1)^{n}

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass f(x) = 1x2 \frac{1}{x^2} auf dem Konvergenzbereich gilt.

Ansatz:

Ich habe den Konvergenzbereich schon berechnet. Dieser ist (0,2). Ich versteh aber leider nicht ganz was hier gefragt ist. Wie kann eine Funktion auf einem Konvergenzbereich gelten?

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Aloha :)

f(x)=n=0(1)n(n+1)(x1)n=n=0(1)nddx((x1)n+1)f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n(n+1)(x-1)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{d}{dx}\left((x-1)^{n+1}\right)f(x)=n=0ddx((1)n+1(x1)n+1)=n=0ddx((1x)n+1)\phantom{f(x)}=-\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{d}{dx}\left((-1)^{n+1}(x-1)^{n+1}\right)=-\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{d}{dx}\left((1-x)^{n+1}\right)f(x)=n=1ddx((1x)n)=ddx(n=0(1x)n1)\phantom{f(x)}=-\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{d}{dx}\left((1-x)^n\right)=-\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{n=0}^\infty(1-x)^n-1\right)f(x)=ddx(11(1x)1)=ddx(1x1)=1x2\phantom{f(x)}=-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-(1-x)}-1\right)=-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}-1\right)=\frac{1}{x^2}

Da wir uns innerhalb des Konvergenzradius der Reihe bewegen, dürfen wir die Ableitung der einzelnen Summanden druch die Ableitung der Summe ersetzen, also quasi das ddx\frac{d}{dx} vor die Wurzel ziehen.

Avatar von 152 k 🚀

Hey :),


Nochmal eine Frage dazu wieso genau braucht man dass und was ist der "Begriff" für diese Art der Rechnung blicke da leider nicht ganz durch wäre mega nett :)

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