Zeigen Sie, dass f(x) auf dem Konvergenzbereich gilt.

Question

Sei \( f(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)(x-1)^{n} \)

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass f(x) = \( \frac{1}{x^2} \) auf dem Konvergenzbereich gilt.

Ansatz:

Ich habe den Konvergenzbereich schon berechnet. Dieser ist (0,2). Ich versteh aber leider nicht ganz was hier gefragt ist. Wie kann eine Funktion auf einem Konvergenzbereich gelten?

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n(n+1)(x-1)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{d}{dx}\left((x-1)^{n+1}\right)$$$$\phantom{f(x)}=-\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{d}{dx}\left((-1)^{n+1}(x-1)^{n+1}\right)=-\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{d}{dx}\left((1-x)^{n+1}\right)$$$$\phantom{f(x)}=-\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{d}{dx}\left((1-x)^n\right)=-\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{n=0}^\infty(1-x)^n-1\right)$$$$\phantom{f(x)}=-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-(1-x)}-1\right)=-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}-1\right)=\frac{1}{x^2}$$

Da wir uns innerhalb des Konvergenzradius der Reihe bewegen, dürfen wir die Ableitung der einzelnen Summanden druch die Ableitung der Summe ersetzen, also quasi das \(\frac{d}{dx}\) vor die Wurzel ziehen.

Comments

Hey :),

Nochmal eine Frage dazu wieso genau braucht man dass und was ist der "Begriff" für diese Art der Rechnung blicke da leider nicht ganz durch wäre mega nett :)