Aufgabe:
Sei \( A \in K^{N \times N} \) eine Matrix mit parweise verschiedenen Eigenwerten \( \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{k} \) mit geometrischen Vielfachheiten \( \nu_{1}, \ldots, \nu_{k} \)
Sei \( \mathbf{x}^{1} \in K^{N} \) ein Eigenvektor einer Matrix \( A \in K^{N \times N} \) zum Eigenwert \( \lambda_{1} \). Wir ergänzen die Vektoren \( x^{2}, \ldots, x^{N} \) zu einer Basis \( \left\{\mathbf{x}^{1}, \mathbf{x}^{2}, \ldots, \mathbf{x}^{N}\right\} \) von \( K^{N} \) und betrachten die reguläre Matrix \( S^{-1} \), deren Spalten genau aus den Basisvektoren bestehen, also \( S^{-1} \mathrm{e}^{n}=\mathrm{x}^{n} \) für \( n=1, \ldots, N \).
Zeigen Sie: Die erste Spalte der Matrix \( B:=S A S^{-1} \) ist \( \lambda_{1} \mathrm{e}^{1} \)
Problem/Ansatz:
wenn ich das ganze anhand eines Beispieles durchrechne und notiere leuchtet mir die Aufgabe ein.
Ich krieg jedoch eine abstrakte, allgemeingültige Beweisführung nicht hin.
Für eine Hilfestellung bzgl. der korrekten allgemeingültigen Notation wäre ich sehr dankbar!
Vielen Dank und mit freundlichen Grüßen
Neon
