Bestimmen SIe die Koordinaten von P auf zwei Nachkomma stellen

Question

Aufgabe:

Von einer Quadratischen Pyramide sind die Punkte A(6/0/0);B(6/6/0); C(0/6/0); D(0/0/0) und S(3/3/8) gegeben. A,B,C, und D beschreiben die Grundfläce der Pyramide. Die Seiten der Pyramide sind gleichschenklige Dreiecke und stehen in einem Winkel von 70,65° zu der Grundfläche

a) Stellen Sie die Ebene E die die Seitenflächen BCS enthält in einer Parameterform und Normalform dar.

b) Die Grade g durchstößt den Mittelpunkt der Grundfläche und dann senkrecht im Punkt P der Seitenfläche BCS. Bestimmen SIe die Koordinaten von P auf zwei Nachkomma stellen

Problem/Ansatz:

Wie finde ich die Gradengleichung von der Grade heraus? Als Stützvektor würde ich den Mittelpunkt der Grundfläche (M(3/3/0) ) aber was nehme ich als Richtungsvektor.

Wenn ich die Gradengleichung hab würde ich die eifach in die Ebenengleichung einsetzen und somit den Punkt P ermitteln.

Comments

stehen in einem Winkel von 70,65° zu der Grundfläche

Wenn S die Spitze der Pyramide ist, wäre der Winkel arctan \( \frac{8}{3} \) = 69,44... °

---

Wieso rechnet man hier mit dem Tangens und nicht mit Cosinus?

---

Mach Dir eine Skizze von der Pyramide, dann überlege wo der Winkel ist und wo und wie lange die Gegenkathete und die Ankathete sind.

Wenn es der Kosinus sein soll: Überlege wo und wie lange die Ankathete und die Hypotenuse sind. arccos \( \frac{3}{\sqrt{8^2+3^2}} \) = 69,44... °

---

was nehme ich als Richtungsvektor

Wie wärs mit dem Normalenvektor der Ebene?

Answer 1

was nehme ich als Richtungsvektor. ?

Nimm einen Normalenvektor der Ebene BCS.

Answer 2

Hallo,

mache Dir ein Bild von dem Szenario:

Wenn Du die Normalengleichung für die Ebene durch \(BCS\) schon hast, $$E_{BCS}: \quad \begin{pmatrix}0\\ 8\\ 3\end{pmatrix} \vec x = 48$$ so brauchst Du nur den Normalenvektor \(\vec n\) dieser Darstellung als Richtungsvektor für die Gerade \(g\) zu nehmen:$$g: \quad \vec x = \begin{pmatrix}3\\ 3\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\ 8\\ 3\end{pmatrix} t$$Der Schnittpunkt \(P\) von \(g\) mit \(E_{BCS}\) ist$$P = \begin{pmatrix}3,00\\ 5,63\\ 0,99\end{pmatrix}$$Falls Du noch Fragen dazu hast, so melde Dich bitte.

Wenn Du auf das Bild klickst, dann öffnet sich die Szene in Geoknecht3D.

Gruß Werner

Comments

:)

Wie kommst du auf den Vektor 0/8/3 ?

---

Wie kommst du auf den Vektor 0/8/3 ?

wegen Deiner Fragestellung hatte ich angenommen. dass Du die Normalenform der Ebene bereits berechnet hattes.

Stelle zunächst die Parameterform der Ebene auf. Z.B. aus den Vektoren \(\vec{BC}\) und \(\vec{BS}\). Es ist $$\vec{BC} = C - B = \begin{pmatrix}0\\ 6\\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6\\ 6\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \\ \vec{BS} = S - B = \begin{pmatrix}3\\ 3\\ 8\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6\\ 6\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\ -3\\ 8\end{pmatrix}$$und damit kann man die Parameterform der Ebene bereits hinschreiben:$$\begin{aligned}E_{BCS}: \quad \vec x &= B + \vec{BC} \cdot r + \vec{BS} \cdot s \\&= \begin{pmatrix}6\\ 6\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-6\\ 0\\ 0\end{pmatrix} r + \begin{pmatrix}-3\\ -3\\ 8\end{pmatrix} s\end{aligned}$$aus dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren berechnet man nun einen Normalenvektor \(\vec n\) der Ebene:$$\begin{aligned} \vec n' &= \vec{BC} \times \vec{BS} \\&= \begin{pmatrix}-6\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-3\\ -3\\ 8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 48\\ 18\end{pmatrix} \\ \implies \vec n &= \frac{\vec n'}{6} = \begin{pmatrix}0\\ 8\\ 3\end{pmatrix}\end{aligned}$$Die \(6\) ist der größte gemeinsame Teiler der Koordinaten \(48\) und \(18\). Da es beim Normalenvektor nur auf die Richtung, aber nicht auf die Länge ankommt, habe ich \(\vec n'\) durch \(6\) dividiert, um 'handlichere' Zahlen zu bekommen.

---

Nachtrag:

Du kommst in diesem speziellen Fall der Pyramide auch viel einfacher zu einem Normalenvektor, wenn Du Dir in dieser Zeichnung ...

... die Dreiecke \(\triangle MXS\) (rot) und \(\triangle MYZ\) (grün) anschaust. Beide Dreiecke sind gleich, aber eben nur um \(90°\) zueinander verdreht, so dass der Winkel \(\angle ZPS\) ein rechter ist. Überlege Dir, wie lang die Seiten des roten Dreiecks sein müssen und anschließend kannst Du die Koordinaten von \(\vec n\) unmittelbar ablesen.