Aloha :)
Wir sollen eine \(3\times3\)-Matrix \(C\) so bestimmen, dass gilt:$$\operatorname{det}(C-7E_3)=0\quad;\quad\operatorname{det}(C)=10$$Da wir sonst keine Vorgaben an die Matrix \(C\) haben, nehmen wir an, sie habe Diagonalgestalt. Dann ist$$C=\begin{pmatrix}a & 0 & 0\\0 & b & 0\\0 & 0 & c\end{pmatrix}\quad;\quad C-7E_3=\begin{pmatrix}a-7 & 0 & 0\\0 & b-7 & 0\\0 & 0 & c-7\end{pmatrix}$$
Die Determinanten erhalten wir einfach durch die Multiplikation der Diagonalelemente:$$\operatorname{det}(C)=abc\stackrel!=10\quad;\quad \operatorname{det}(C-7E_3)=(a-7)(b-7)(c-7)\stackrel!=0$$
Die zweite Bedingung fordert, dass eines der Diagonalelemente gleich \(7\) ist. Daher setzen wir \(a=7\). Die beiden anderen Diagonalelemente \(b\) und \(c\) müssen dann so gewählt werden, dass gilt:$$7\cdot b\cdot c=10\quad\text{bzw.}\quad bc=\frac{10}{7}$$Wir wählen der Einfachheit halber \(b=10\) und \(c=\frac{1}{7}\). Damit haben wir eine der unendlich vielen möglichen Matrizen gefunden:$$C=\begin{pmatrix}7 & 0 & 0\\0 & 10 & 0\\0 & 0 & \frac{1}{7}\end{pmatrix}$$
