Berechnen Sie ln(j) ohne TR

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie ln(j) , alle Lösungen der Gleichung e^z = j

Ergebnisse sollten bis zu dem Punkt berechnet werden, ab dem ein Taschenrechner sinnvoll ist.

Problem/Ansatz:

i² = -1, aber was ist dann ln?

Answer 1

e^z  =  i  |  ln

ln (e^z )  =  ln i

z=  ln i

mfG

Moliets

Answer 2

Aloha :)

Verwende am besten die Euler-Gleichung \(e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\,\sin\varphi\) wie folgt:$$\ln(i)=\ln\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\,\sin\frac{\pi}{2}\right)=\ln\left(e^{i\pi/2}\right)=i\,\frac{\pi}{2}\ln(e)=i\,\frac{\pi}{2}$$

Die Lösung ist nicht eindeutig bestimmt, weil die Winkelfunktionen \(2\pi\)-periodisch sind. Du kannst daher auch mit \(n\in\mathbb Z\) schreiben:$$\ln(i)=\ln\left(\cos\left(2\pi n+\frac{\pi}{2}\right)+i\,\sin\left(2\pi n+\frac{\pi}{2}\right)\right)=\ln\left(e^{i(2\pi n+\pi/2)}\right)=\ln\left(e^{i\pi(2n+1/2)}\right)$$$$\phantom{\ln(i)}=i\pi\left(2n+\frac{1}{2}\right)\ln(e)=i\pi\left(2n+\frac{1}{2}\right)$$

Welche Lösung du angeben musst, kann ich dir nicht sagen, das hängt davon ab, wie ihr das in der Vorlesung besprochen habt. Die zweite Lösung mit dem \(n\) ist die allgemeine.