Basis aufstellen, beweisen

Question

Aufgabe:

Es seien

$$ v_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 7 \\ 4 \end{array}\right), v_{3}=\left(\begin{array}{l} 8 \\ 27 \\ 14 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} $$

Ist \( \left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \) eine Basis? Wenn nein, geben Sie eine Basis von \( \operatorname{Lin}\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \) an. Stellen Sie
$$ w=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 5 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} $$
als Linearkombination der Basis dar.

Hier habe ich die erste frage berechnen können und habe raus dass es keine basis ist (meine antwort kann auch falsch sein ). Ich weiß nicht wie ich bei den anderen fragen weitermachen soll

Answer 1

Aloha :)

Du hast bisher richtig gerechnet. Die 3 Vektoren \(\vec v_i\) bilden keine Basis.

Wenn du nun eine Basis von \(\operatorname{lin}(\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3)\) bestimmen möchtest, musst du die linearen Abhängigkeiten aus den Vektoren rausrechnen. Dazu schreibst du die 3 Vektoren in eine Matrix und bringst diese durch elementare Spaltenumformungen auf Dreieckgestalt:$$\begin{array}{rrr} & -2S_1 & -8S_1\\\hline1 & 2 & 8\\3 & 7 & 27\\1 & 4 & 14\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrr} -3S_2& & -3S_2\\\hline1 & 0 & 0\\3 & 1 & 3\\1 & 2 & 6\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrr} \vec b_1 & \vec b_2 & \\\hline1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\-5 & 2 & 0\end{array}$$Es bleiben also 2 Basisvektoren \(\vec b_1\) und \(\vec b_2\) übrig.

Damit sollen wir nun den gegebenen Vektor darstellen:

$$\begin{pmatrix}-1\\0\\5\end{pmatrix}=-1\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-5\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}=-\vec b_1+0\vec b_2$$

Comments

ich kann dir soweit folgen , ich wäre halt nicht auf die spaltenumformung usw. gekommen b1 und b2 wären dann jeweils eine basis von (v1,v2,v3)

vielen vielen dank für die hilfe !

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Ja genau \(\vec b_1\) und \(\vec b_2\) sind die beiden Basisvektoren.

Du kannst die lineare Abhängigkeit auch mit Zeilenoperationen herausrechnen, dann musst du aber die Vektoren des Spans auch als Zeilenvektoren in die Matrix eintragen.