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ich bearbeite gerade ein Paar Übungsaufgaben und frage mich wieso hier bei der Bestimmung einer Bais in den beiden Aufgaben so unterschiedlich vorgegangen wird.

Das wurde in der ersten Aufgabe gemacht:

$$ \begin{array}{l} {\text { Seien }} \\ {\qquad v_{1}=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{c} {0} \\ {1} \\ {1} \\ {2} \end{array}\right), w_{1}=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \\ {0} \\ {-1} \end{array}\right), w_{2}=\left(\begin{array}{c} {0} \\ {-1} \\ {-1} \\ {0} \end{array}\right)} \end{array} $$
und
$$ V=\mathcal{L}\left(v_{1}, v_{2}\right), W=\mathcal{L}\left(w_{1}, w_{2}\right) $$
zwei Untervektorräume von \( \mathbb{R}^{4} \).

Berechnen Sie eine Basis von \( V+W \)

In der Lösung wurde die Matrix dann einfach auf Zeilenstufenform gebracht und die (nicht Nullzeilen) als Basiselemente verwendet. Das leuchtet mir soweit auch ein.

Anders sieht es bei diesem Beispiel aus:

Hier wurde die Matrix ebenfalls auf Zeilenstufenform gebracht aber dann wurden die Basiselemente nach den Pivotelementen ausgewählt.

\(\begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0\  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\1\\0\\1\  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1\  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\1\\1\\0\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\1\  \end{pmatrix}\)

Woher weiß man wann man wie vorgehen muss?

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die Basiselemente nach den Pivotelementen ausgewählt.

Bitte präzisiere diese Aussage.

\(\left. \text {  }\left.\left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right) \begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right]\right\}\)

Was soll das bedeuten?

Hallo:) Danke, dass du mich darauf aufmerksam machst, ich habe nicht bemerkt, dass das Programm den Text nicht richtig umgewandelt hat. Ich habe das jetz nochmal abgetippt. Es geht um das Erzeugendensystem:

$$\begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0\  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\1\\0\\1\  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1\  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\1\\1\\0\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\1\  \end{pmatrix}$$

Dabei wurde, um daraus eine Basis zu bestimmen zuerst die Matrix bestimmt und dann in Zeilenstufenform umgewandelt. Dabei wurden dann die ursprünglichen Matrixeinträge (ohne Zeilenumformungen) die diesen Pivotelementen entsprechen als Basis verwendet.


Beim ersten Beispiel war es so, dass die Matrix ebenfalls in Zeilenstufenform gebracht wurde, allerdings die umgeformten Einträge als Basiselemente verwendet wurden.

1 Antwort

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Beste Antwort

Da erste Verfahren ist sicherer. Da brauchst du nicht aufpassen, welche elementaren Zeilenumformungen du durchführst.

Das zweite funktioniert nur, wenn du dabei keine Zeilen vertauschst.

Manchmal ist in der Aufgabenstellung gefordert, dass die Elmente der Basis aus dem gegebenen Erzeugendensystem stammen sollen. Dann musst du so wie im zweiten Fall vorgehen.

Avatar von 106 k 🚀

Ok dankesehr:) Könnte ich dann z.b. bei der ersten Variante auch v1,v2 und w2 als Bais nehmen?  

Ok dankesehr:)

Gerne. Leider ist es doch nicht so einfach, wie ich mir das vorgestellt habe. Ich musste meine Antwort korrigieren.

Könnte ich dann z.b. bei der ersten Variante auch v1,v2 und w2 als Bais nehmen?  

Ja, das ginge.

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