Aussagen zu Basis und Erzeugendensystem widerlegen

Question

Es sei V ein Vektorraum über dem Körper K.
Folgende Aussagen seien gegeben.
$$\text{a) Jedes System von linear unabhängigen Vektoren aus } V \text{ ist eine Basis von } V . \\ \text{ b) Wenn } V \text{ eine Basis aus } n \text{ Vektoren besitzt, so ist jedes System mit mehr als } n \\ \text{ verschiedenen Vektoren aus } V \text{ ein Erzeugendensystem von }  V .$$
Könnte mir jemand erklären, wieso beide Aussagen falsch sind? ! :)

Answer 1

Zu a)

sei \( V = \mathbb{R}^3 \) und \( e_1 = \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) und \( e_2 = \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \) zwei unabhängige Vektoren. Mit diesen Vektoren kann man aber \( e_3 = \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \) nicht erzeugen. Also bilden \( e_1 \)  und \( e_2 \) keine Basis.

Zu b)

sei wieder \( V = \mathbb{R}^3 \) und \( e_1 = \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \), \( e_2 = \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \), \( e_3 = \begin{pmatrix} 2\\2\\0 \end{pmatrix} \), \( e_4 = \begin{pmatrix} 3\\3\\0 \end{pmatrix} \) vier verschieden Vektoren. Sie bilden aber keine Basis, da mit diesen Vektoren nicht \( e_1 = \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \) erzeugt werden kann.

Comments

zu a) aber besteht eine Basis nicht aus linear unabhängigen Vektoren und ist damit ein linear unabhängiges System und wieso muss man damit unbedingt $$e_{3}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$$ erzeugen können?

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Das sind äquivalente Definitonen einer Basis:

Jedes Element von V lässt sich als Linearkombination von Vektoren aus B darstellen und diese Darstellung ist eindeutig.

B ist ein minimales Erzeugendensystem von V, jeder Vektor aus V lässt sich also als Linearkombination aus B darstellen (V ist lineare Hülle von B) und diese Eigenschaft gilt nicht mehr, wenn ein Element aus B entfernt wird.

B ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V. Wird also ein weiteres Element aus V zu B hinzugefügt, ist die neue Menge nicht mehr linear unabhängig.

B ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V.

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achso okay. Jetzt habe ich es verstanden :) danke

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normal zu a) also nur weil ich linear unabhängige Vektoren habe, müssen die noch lange keine Basis sein?

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Genau, siehe mein Beispiel.