Erzeugendensystem und Basis

Question

Aufgabe:

Wir definieren die Mengen

\( U:=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} \mid x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}=0\right\} \) und

\( M:=\left\{\left(\begin{array}{c}-5 \\ 1 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3 \\ 0 \\ -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0 \\ 3 \\ -2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)\right\} \)

a) Zeigen Sie, dass M ein Erzeugendensystem von U ist.

b) Erganzen Sie L := ∅ zu einer Basis B ⊆ M von U.

Problem/Ansatz:

Für a) weiß ich, dass wenn M ein Erzeugungssystem von U ist, M ⊆ V und span (M) = U ist.

Für b) verstehe ich, dass ich zuerst die Basis finden muss, aber was bedeutet es, wenn ich ∅ zu B "erganzen" muss.

Aber weiß nicht, wie ich mit a) und b) weiter vorgehen soll. Kann mir jemand sagen, wie man diese beiden Aufgaben bearbeiten würde?

Answer 1

Aloha :)

Aus der Definitionsgleichung für U entnehmen wir die Forderung$$x_1+2x_2+3x_3=0\quad\Longleftrightarrow\quad x_1=-2x_2-3x_3$$Damit können wir eine Parametergleichung für alle Punkte aus \(U\) angeben:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2x_2-3x_3\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}$$

Wir erkennen, dass wir mit \(2\) Vektoren aus dem Span auskommen, um alle Punkte aus \(U\) zu beschreiben. Daher reichen natürlich die Vektoren in \(M\) völlig aus, um \(U\) vollständig darzustellen. Die beiden Vektoren von oben reichen jedoch völlig aus und bilden die gesuchte Basis$$B=\left(\,\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}\;;\;\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}\,\right)$$