Elemente aus Basis und Erzeugendensystem miteinander austauschen

Question

Bei den folgenden Aufgaben fehlen mir Lösungsansätze und ich habe keine brauchbaren Ideen.

Aufgabe:

Sei V ein K–Vektorraum, A=(v₁,...,v_n) eine Basis und B=(w₁,...,w_m) ein Erzeugendensystem von V. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen.

1. (v₁,w₂,...,w_m) ist ein Erzeugendensystem von V

2. (v₁+w₁,...,v_n+w_n) ist eine Basis von V

3. Es gibt i ∈ ℕ mit 1 ≤ i ≤ n, so dass (v₁,...,v_i–1,w₁,v_i+1,...,v_n) eine Basis von V ist

4. Es gibt ein i ∈ ℕ mit 1 ≤ i ≤ n, so dass (w₁,...,w_m–1,v₁) ein Erzeugendensystem von V ist

Vermutlich hilft es mir schon, wenn ich dann die erste Aufgabe lösen kann.

Problem/Ansatz:

Richtige Ansätze habe ich, wie gesagt, noch nicht.

Zu 1.

Zunächst war meine Idee, dass 1. stimmt, weil ein Erzeugendensystem aus einer Basis besteht, und es dementsprechend nichts ändern sollte, weil das, was durch dieses v ersetzt wird, entweder v1 ist, ein vielfaches davon, oder es wird durch einen von v1 linear unabhängigen Vektor ersetzt. In den ersten beiden Fällen bleibt die Menge ja fast gleich und die Vektoren bleiben linear abhängig. Im letzen Fall, wenn W1 zu v1 linear unabhängig ist, bin ich mir unsicher, da dann ein Basisvektor w1 ausgetauscht wird durch einen Basisvektor v1 einer anderen Basis. Das dürfte aber eig nichts ausmachen, weil ja vielfache von w1 im Erzeugendensystem vorhanden sein können. Das Problem ist, dass das doch nicht zwingend gilt.

Zu 2.

Hierbei glaube ich das die Aussage falsch ist, da, wenn ich v_i und w_i addiere ein vielfaches von der Summe aus v_k und w_k entstehen könnte, da die Elemente des Erzeugendensystems ja ebenfalls aus vielfachen bestehen können. Dabei liegen i und k zwischen 1 und n, wobei i≠k ist.

Auch wenn meine Ideen stimmen sollten, weiß ich auch noch nicht, wie man sie mathematisch korrekt aufschreibt.

Zudem habe ich noch allgemeine Fragen:

Wenn die Basis aus n Elemente besteht und das Erzeugendensystem aus m Elementen, bedeutet das dann, dass ich annehmen kann, dass das Erzeugendensystem aus einem Element mehr besteht, da m nach n im Alphabet kommt, oder wurden einfach nur zwei unterschiedliche Indizes verwendet, unabhängig von der Anzahl der Elemente und es soll nur zeigen dass die zwei Mengen eine unterschiedliche Anzahl an Elementen haben?

Und ich frage mich noch, ob ich bei einem Erzeugendensystem immer davon ausgehen darf, dass es mindestens ein Element mehr als eine Basis hat und nie gleich der Basis ist, da die Basis ja auch nur ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist und das Erzeugendensystem nach Definition nicht zwingend linear unabhängig ist.

Comments

Mir fiel eben mal auf, dass m natürlich vor n im Alphabet auftaucht, also ignoriert die erste Frage bitte

Answer 1

Wenn die Basis aus n Elemente besteht und das Erzeugendensystem aus m Elementen, bedeutet das dann, dass ich annehmen kann, dass das Erzeugendensystem aus einem Element mehr besteht, da m nach n im Alphabet kommt, oder wurden einfach nur zwei unterschiedliche Indizes verwendet, unabhängig von der Anzahl der Elemente und es soll nur zeigen dass die zwei Mengen eine unterschiedliche Anzahl an Elementen haben?

Das zweite ist (fast) richtig. Mit dem Alphabet hat es nichts zu tun, aber wenn zwei unterschiedliche

Variablennamen gewählt werden, können trotzdem beide den gleichen Wert haben.

In diesem speziellen Fall ist aber klar n≤m denn im endlichdimensionalen Fall eine Basis ist immer ein

Erz.syst. mit der kleinstmöglichen Anzahl von Elementen.

zu 1. Wäre es richtig, würde es auch für n=m gelten.

Wähle z.B. in R^3 als Basis e1,e2,e3 und als

Erzeugendensystem die gleichen in umgekehrter Reihenfolge.

Wenn du dann w1 weglässt und durch v1 ersetzt, hast du e3 nicht mehr und

e1 doppelt, also kein Erz.system mehr.

zu 2. Das gleiche Beispiel zeigt, dass auch 2 nicht stimmt.

zu 3. ist auch falsch. Ein Erz.syst. kann den Nullvektor enthalten, eine Basis

aber nicht.

Comments

Vielen Danke für deine Antwort

Bei 4. habe ich die Aufgabe versehentlich falsch abgeschrieben, sie müsste eigentlich wie folgt lauten:

4. Es gibt ein i ∈ ℕ mit 1 ≤ i ≤ n, so dass (w₁,...,w_m–1,v_i) ein Erzeugendensystem von V ist

Also statt v₁, v_i

Wäre es v₁, könnte ich ja wie bei 1. und 2. begründen. Jetzt kann ich ja einen Basisvektor auswählen, da es für einen beliebigen Vektor gilt. Dann müsste das ja stimmen, weil w_m entweder gleich dem Basisvektor v_i ist, ein Vielfaches davon, oder lienar unabhängig dazu. In den ersten beiden Fällen bleibt es ein Erzeugendensystem. Wenn w_m der Nullvektor ist ändert sich nichts, da er nicht zwingend im Erzeugendensystem sein muss. Die einzigen anderen linear unabhängigen Vektoren wären dann ebenfalls Basisvektoren und ich wähle mein v_i in dem Fall wieder gleich w_m. Was mache ich aber, wenn mein Erzeugendensystem aus einer anderen Basis besteht als das A. Kann ich generell alle Basen durch eine andere Basis darstellen? Weil eigentlich sind doch zwei Basen linear abhängig, wobei ich mir unsicher bin ob das immer so ist

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wenn w_m nicht der Nullvektor ist  (den Fall Nullvektor hast du ja erledigt.)

dann gibt es eine Darstellung

$$w_m =\sum \limits_{k=i}^{n}a_i*v_i$$

und mindestens ein a_i ist nicht 0.

Du kannst also für dieses i die Gleichung nach v_i

und dann w_m durch dieses v_i ersetzen und es bleibt ein

Erzeugendensystem.

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Ok, jetzt habe ich das ganz viel besser verstanden. Vielen Dank für deine Antworten :)