Reihe konvergenz nachweisen: (n/(n+1))^n^2

Question

Aufgabe:

Ich soll mit dem Quotientenkriterium die Konvergenz dieser Reihe nachweisen.

Ich weiß, dass diese Reihe konvergiert, aber ich scheitere am Nachweis.

Reihe:

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{(\frac{n}{n+1})^{n^{2}}} \)

Problem/Ansatz:
Ich weiß, wie ich richtig anfangen muss, jedoch bekomme ich das ganze nicht so umgeschrieben, dass der Limes am Ende <1 ist.

Comments

jedoch bekomme ich das ganze nicht so umgeschrieben,

Wieso? Sieht doch bis jetzt gut aus. Wo zweifelst du?

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So weit ich weiß muss ich zeigen, dass \( \lim\limits_{n\to\infty} \) |\( \frac{an+1}{an} \) | < 1 ist.

Jedoch schaffe ich es nicht den Term entsprechend umzustellen, dass das klar ersichtlich ist.

Entweder der Term ist komplett unübersichtlich oder ich komme irgendwie auf einen Limes von 1.

Optimal wäre ein Hinweis, wie ich das ganz umstellen soll, dass ich am Ende auf den entsprechenden Limes komme.

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ich habe es jetzt so weit umgeformt:

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) |\( \frac{(1 + \frac{1}{n})^{(n+1)^{2}}}{(1 + \frac{2}{n})^{(n+1)^{2}}} \) * \( (1 + \frac{1}{n})^{n^{2}} \) |

jedoch habe ich keine Ahnung wie ich von dort aus weiterkomme.

Answer 1

Aloha :)

Das Quotientenkriterium ist hier nicht gut geeignet. Ich empfehle das Wurzelkriterium:

$$\sqrt[n]{|a_n|}=\left|\sqrt[n]{\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}}\right|=\left|\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2\cdot\frac{1}{n}}\right|=\left|\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}\right|=\left(\frac{n+1-1}{n+1}\right)^n$$$$\phantom{\left|\sqrt[n]{a_n}\right|}=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n=\frac{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{n+1}}\,\to\,\frac{e^{-1}}{1}=\frac{1}{e}<1$$

\(\Rightarrow\) Konvergenz!

Hier stand Unsinn...

Comments

Vielen Dank, das sieht wirklich bedeutend einfacher aus.

Nur leider ist das Quatientenkriterium explizit von der Aufgabenstellung gefordert und außerdem hatten wir das Wurzelkriterium in der Vorlesung gar nicht behandelt.

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Ich habe meine Antwort nochmal um das Quotientenkriterium ergänzt. Aber da kriege ich den Grenzwert \(1\) heraus, was für eine Begründung der Konvergenz nicht hinreichend ist.

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danke dafür, das hilft mir zumindest etwas weiter

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Hallo Tschaka, du hast da einen grundlegenden Umformungsfehler:

\(a^{(n²)}\) ist NICHT \((a^{n})^2\), sondern  \((a^{n})^n\)

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Oha, danke dir Abakus!!!

Du hast natürlich recht. Ich habe den Faux-pas entfernt ;)

Answer 2

n/(n+1) = (n+1-1)/(n+1) = 1- 1/(n+1)

lim (1-1/(n+1))^n = e^(-1)

--> lim = e^(-n) = 1/e^n = 0 für n gg.oo