Konvergenz einer Reihe nachweisen

Question

Aufgabe:

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{} \) (n⁵+5ⁿ)/(n⁶+5ⁿ)

Problem/Ansatz:

Konvergiert oder divergiert diese Reihe?

Answer 1

Diese Reihe divergiert.

Comments

Weil a_n keine Nullfolge ist, oder?

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Ja, der Grenzwert von a_{n} ist 1.

Answer 2

Aloha :)

Für die Konvergenz der Reihe muss nicht nur die Folge der \(a_n\) eine Nullfolge sein, sondern sogar die Folge \(n\cdot a_n\), vergleiche dazu den Satz von Olivier. Damit sieht man sehr schnell:$$n\cdot a_n=n\cdot\frac{n^5+5^n}{n^6+5^n}=\frac{n^6+n\cdot5^n}{n^6+5^n}\ge1\quad\text{für alle }n\in\mathbb N$$Daher divergiert die Reihe.