Wie wendet man hier den Austauschsatz von Steinitz an?

Question

Hi, ich habe in einem anderen Thread diese Frage gelesen:

"Sei X = {e1,e2,e3} c R3 die Menge der Standardvektoren. Zeigen Sie, dass folgende Teilmengen von R3 linear unabhängig sind und tauschen sie die Elemente gegen die ei aus im Sinne des Austauscsatzes.
{(1,1,0),(1,2,0)}..."

Nun habe ich selber versucht, diese Aufgabe zu lösen, allerdings mit dem Nachweis linearer Unabhängigkeit. Nun wollte ich euch mal fragen, wie man das formal sauber gemäß des Steinztschen Austauschsatzes formulieren kann, denn bei mir endet das gerade irgendeinem Blablabla und ich denke nicht, dass das der Aufgabenstellung mit dem Steinitzschen Austauschsatz entspricht.

Wäre super nett, habe nirgendwo anders so ein Anwendungsbeispiel gefunden.

VG:)

Answer 1

Schreibe \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix} \) in eine Matrix:

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Steinitz: Erlaubt sind:

- Multiplikationen einer Zeile oder Spalte mit Faktor≠0

- Addieren von Zeilen / Spalten

- Zeilen-/Spaltentausch

2. Sp - 1. Sp:

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)

1. Sp - 2. Sp:

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)

e₁, e₂ stehen da! Damit ist auch die lin. Unabh. der Ausgangsvektoren gezeigt.

Comments

Super:) vielen vielen Dank, d.h. doch, dass ich jetzt entweder den linken Vektor durch e1 oder den rechten durch e2 oder beide ersetzten darf, oder?

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Ja!........................................................

Answer 2

Versuch es doch mal hiermit. Mit dem Beispiel hab ich es verstanden: