Ermittlung einer quadratischen Funktion des Typs h(t)=a*t² + b*t + c aus untenstehender Texaufgabe

Question

Aufgabe:

Ein Stein wird aus einer Anfangshöhe von 2m senkrecht in die Luft geworfen. Nach 0,4s (s= Sekunden) hat er eine Höhe von 4,8m erreicht, nach 0,8s ist er 6m hoch.

Gefragt ist: (a) Bestimme eine quadratische Funktion h(t) = a*t² + b*t + c aus den gegebenen Bedingungen.

                (b) Kontrolliere, dass neben h(0) = 2 auch gilt h(2) = 0 und interpretiere diese Werte im Kontext.

Problem/Ansatz:

Mein Lösungsansatz war zunächst folgender:

Ich habe die Werte in einen Grafen übertragen - es sah wie eine Parabel aus - und den Punkt (0,8/6) als Scheitelpunkt angenommen.

Dann in die Formel aus dem Mathebuch des Herrn Sohnemanns (der diese Aufgabe lösen soll und nicht kann) f(x) = a*(x-m)² +n den Scheitelpunkt eingesetzt ( x entspricht dem hier angegebenen t) und den Wert von a mithilfe eines Punktes auf der Parabel ausgerechnet - ich habe den Punkt (0/2) genommen, da er ja auch für diese Funktion gelten soll.

Mein Ergebnis ist: h(t)= 4,16t² - 6,66t + 8,66

Leider ist das Ergebnis falsch. Auf dem Lösungsblatt steht folgende Lösung: h(t)= -5t² +t +2

Liebe Mathe-Genies, wie komme ich auf diese Lösung? Ich bitte um Eure Antworten - vielen Dank schon im Voraus!

Answer 1

Wenn du die Punkte aus dem Text (0|2,0), (0,4|4,8) und (0,8|6,0) in h(t) = a*t² + b*t + c einsetzt, erhältst du ein System von 3 Gleichungen mir den Unbekannte a, b und c.

Comments

Das habe ich auch schon probiert, allerdings mit den Punkten (0/2), (0,8/6) und (2/0), hat mich der angegebenen Lösung leider nicht näher gegbracht. Ich versuche es jetzt nochmal mit den Punkten, die du angegeben hast!

Was mich an diesem Lösungsansatz etwas stört: die Lösung mit den 3 Gleichungen habe ich mir aus dem Internet zusammengesucht. In des Juniors Mathebuch steht davon nichts. Diverse Bsp zum Thema Wurfparabel, aber immer mit bereits gegebener Funktion. Was für einen Sinn hat eine Schularbeitsaufgabe, wenn man erwartet, dass 14-Jährige sich die Lösung aus dem Internet suchen müssen?

Könnte man diese Aufgabe auch anders als mit den drei Gleichungen lösen?

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Drei Gleichungen mit drei Unbekannten solltet ihr behandelt haben. Sonst wäre diese Aufgabe nicht sinnvoll. Eine andere Lösungsmethode kenne ich nicht.

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Hallo Roland,

vielen Dank für deine Zeit und Geduld. Ich habe das Mathe-Buch durchforstet und die Aufzeichnungen des Juniors (inkl aller "Folien", die die Lehrerin gepostet hat - der Junior ist seit Mitte Oktober im Distance Learning), aber nein, ein Lösungsansatz mit drei Gleichungen kommt da nirgends vor. Nur das Einsetzungsverfahren und die 2 anderen beim Thema lineare Gleichungen. Scheint wohl so, als ob das eine Blitzkneisseraufgabe für die Leute ist, die ein Sehr gut wollen (per definitionem: "...auch Aufgaben lösen können, die im Unterricht nicht behandelt worden sind")...

Liebe Grüße!

PS: Die Lösung der Lehrerin ist offenbar falsch, es muss heißen: -5t² + 9t +2

Das passt dann für alle Punkte, auch für den Punkt (2/0), den ich für die Berechnung nicht herangezogen hab - nur falls da wer nachrechnen möchte;-)

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Unter der Beachtung von "Ein Stein wird aus einer Anfangshöhe von 2m senkrecht in die Luft geworfen." muss h(0)=c=2 gelten, sodass es dann nur noch um zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten geht.

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Ja, danke, da hast du recht!

Answer 2

Hallo,

Ergebnis im Kommentar stimmt.

aus den Textangaben ergibt sich :

h(0) = 2     entspricht    c= 2

h(2) = 0     Nullstelle

h(0,4) = 4, 8      

h(0,,8)= 6

Werte in die allgemeine Form einsetzen

    4,8 = a (0,4)² +b(0,4) +2                  4,8 = 0,16 a +0,4b +2

       6=  a(0,8)² +b(0,8) +2     | :(-2)       - 3= -0,32 a -0,4b -1     | Additionsverfahren anwenden

                                                          1,8  = -0,16 a   +1         | -1

                                                            0,8  = -0,16 a                | .(-0,16)

                                                            -5   = a

nun weiter einsetzen um b zu bestimmen

  4,8 = -5 *(0,4)² + 0,4 b+2   | -2

    2,8  = -0,8 +0,4 b               |+0,8

   3,6   = 0,4 b                        | :0,4

      9   = b

Funktion lautet : h(t) = -5 t² +9t+2

Nullstelle überprüfen    h(2) = - 5 * 2² +9*2 +2

                                     h(2) = 0

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Vielen Dank, so habe ich es gerechnet! Probe hat auch jeweils gestimmt;-)

Answer 3

Ein Stein wird aus einer Anfangshöhe von 2m senkrecht in die Luft geworfen.
h ( t ) = a * t^2 + b * t + c
h ( 0 ) = 2

Nach 0,4s (s= Sekunden) hat er eine Höhe von 4,8m erreicht,
h ( 0.4 ) = 4.8 m
nach 0,8s ist er 6m hoch.
h ( 0.8 ) = 6

Gefragt ist: (a) Bestimme eine quadratische Funktion h(t) = a*t ^2 + b*t + c aus den gegebenen Bedingungen.

h ( 0 ) = a * 0^2 + b * 0 + c = 2  => c = 2
h ( 0.4 ) = a *(0.4) ^2 + b * 0.4 + 2 = 4.8
h ( 0.8 ) = a *(0.8) ^2 + b * 0.8 + 2 = 6

a *(0.16)  + b * 0.4  = 2.8
a *(0.64 )  + b * 0.8 = 4

2 Gleichungen mit 2 Unbekannten : schaffst
du das ? Tip : 1.Gleichung mal 4 nehmen und dann
beide Gleichungen voneinander abziehen.

Zur Kontrolle

h ( t ) = -5 * t^2 + 9 * t + 2

Comments

Vielen Dank, ich habs geschafft, jetzt ist es nicht mehr schwer!

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Gern geschehen.