Aloha :)
Gesucht: \(f(x)=a\cdot b^x+c\)
Die Asymptote ist \(y=-2\). Da bei der Asymptote der Exponential-Anteil zu Null wird, ist \(c=-2\).
Aus dem Punkt \(S(0|-5,1)\) folgt:$$-5,1=f(0)=a+c=a-2\;\Rightarrow\;a=-3,1$$Der Graph steigt für alle \(x\), d.h. die Ableitung ist immer positiv:$$f'(x)=a\cdot\ln b\cdot b^x>0\quad\stackrel{a<0}{\Rightarrow}\quad \ln b<0\quad\Rightarrow\quad b\in]0;1[$$Durch die unendliche Anzahl an Möglichkeiten für die Wahl von \(b\), gibt es auch unendlich viele Funktionen, die die Bedingungen erfüllen:$$f(x)=-3,1\cdot b^x-2\quad;\quad b\in]0|1[$$
~plot~ -3,1*0,5^x-2 ; -3,1 *0,3^x-2 ; -3,1*0,1^x-2 ; [[-2|5|-20|0]] ~plot~
